Verifique que se o campo esta conservativo, e encontre a integral, justifique.
.
Passo 1
Então, vamos lá! A questão pede para verificarmos se um certo campo vetorial é conservativo e, se for, calcular a integral desse campo entre os pontos
e
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como campos conservativos e integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial
tal que
. Isso significa que a integral do campo entre dois pontos depende apenas desses pontos e não do caminho seguido. Além disso, em campos conservativos, a circulação do campo em qualquer caminho fechado é zero.
Passo 3
Para verificar se o campo dado é conservativo, vamos identificar o campo vetorial
a partir da integral:
Agora, vamos calcular o rotacional de
. Se o rotacional for zero, o campo é conservativo.
Passo 4
Calculando o rotacional de
:
Calculando cada componente:
Portanto, a primeira componente do rotacional é zero. Fazendo os mesmos cálculos para as outras componentes, todas elas serão zero. Assim:
Passo 5
Como o rotacional de
é zero, isso confirma que o campo é conservativo. Agora, podemos encontrar uma função potencial
tal que
.
Passo 6
Vamos encontrar
integrando
:
Notamos que o numerador é exatamente a derivada de
:
Então, podemos reescrever
como:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora que temos a função potencial, podemos calcular a integral entre os dois pontos usando a diferença dos valores de
nesses pontos:
Calculando
em cada ponto:
Resposta
Então, a integral vale:
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Encontre a integral de linha:
.
Calcule
.
Encontre o fluxo do campo vetorial
através da superfície
na direção dada por um campo dos vetores normais
: