Verifique que se o campo esta conservativo, e encontre a integral, justifique.
integral(-1,-1,-1)^(2,2,2) x d x+y d y+z d zx^2+y^2+z^2.

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pede para verificarmos se um certo campo vetorial é conservativo e, se for, calcular a integral desse campo entre os pontos e . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como campos conservativos e integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial tal que . Isso significa que a integral do campo entre dois pontos depende apenas desses pontos e não do caminho seguido. Além disso, em campos conservativos, a circulação do campo em qualquer caminho fechado é zero.

Passo 3

Para verificar se o campo dado é conservativo, vamos identificar o campo vetorial F = x , i + y , j + z , kx^2 + y^2 + z^2 a partir da integral:
Agora, vamos calcular o rotacional de . Se o rotacional for zero, o campo é conservativo.

Passo 4

Calculando o rotacional de nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k :
partial Fzpartial y = partialpartial y ( zx^2 + y^2 + z^2 ) = -2yz(x^2 + y^2 + z^2)^2
Calculando cada componente:
partial Fypartial z = partialpartial z ( yx^2 + y^2 + z^2 ) = -2yz(x^2 + y^2 + z^2)^2
nabla times F = 0
Portanto, a primeira componente do rotacional é zero. Fazendo os mesmos cálculos para as outras componentes, todas elas serão zero. Assim:

Passo 5

Como o rotacional de é zero, isso confirma que o campo é conservativo. Agora, podemos encontrar uma função potencial tal que .

Passo 6

Vamos encontrar phi = integral F cdot dr = integral x , dx + y , dy + z , dzx^2 + y^2 + z^2 integrando d(x^2 + y^2 + z^2) = 2x , dx + 2y , dy + 2z , dz :
phi = 12 ln(x^2 + y^2 + z^2) + C
Notamos que o numerador é exatamente a derivada de :
Então, podemos reescrever como:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora que temos a função potencial, podemos calcular a integral entre os dois pontos usando a diferença dos valores de integral(-1,-1,-1)^(2,2,2) F cdot dr = phi(2,2,2) - phi(-1,-1,-1) nesses pontos:
phi(2,2,2) = 12 ln(2^2 + 2^2 + 2^2) = 12 ln(12)
Calculando phi(-1,-1,-1) = 12 ln((-1)^2 + (-1)^2 + (-1)^2) = 12 ln(3) em cada ponto:

Resposta

Então, a integral vale:
12 ln(12) - 12 ln(3) = 12 ln(123) = 12 ln(4) = ln(2)

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