Verifique que se o campo esta conservativo, e encontre a integral, justifique.
.

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pede para verificarmos se um certo campo vetorial é conservativo e, se for, calcular a integral desse campo entre os pontos e . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como campos conservativos e integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial tal que . Isso significa que a integral do campo entre dois pontos depende apenas desses pontos e não do caminho seguido. Além disso, em campos conservativos, a circulação do campo em qualquer caminho fechado é zero.

Passo 3

Para verificar se o campo dado é conservativo, vamos identificar o campo vetorial a partir da integral:
Agora, vamos calcular o rotacional de . Se o rotacional for zero, o campo é conservativo.

Passo 4

Calculando o rotacional de :
Calculando cada componente:
Portanto, a primeira componente do rotacional é zero. Fazendo os mesmos cálculos para as outras componentes, todas elas serão zero. Assim:

Passo 5

Como o rotacional de é zero, isso confirma que o campo é conservativo. Agora, podemos encontrar uma função potencial tal que .

Passo 6

Vamos encontrar integrando :
Notamos que o numerador é exatamente a derivada de :
Então, podemos reescrever como:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora que temos a função potencial, podemos calcular a integral entre os dois pontos usando a diferença dos valores de nesses pontos:
Calculando em cada ponto:

Resposta

Então, a integral vale:

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Encontre a integral de linha:
.
Calcule .
Encontre o fluxo do campo vetorial através da superfície na direção dada por um campo dos vetores normais :
, a parte superior, é para cima.