Encontre a integral de linha:
é triangulo
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral de linha do tipo
, onde
é o contorno de um triângulo com vértices em
,
e
. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de integrais de linha em geometria vetorial. Para resolver, precisamos dividir o contorno
em três segmentos e calcular a integral em cada um deles.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os três segmentos que formam o triângulo
:
- Segmento
: de a - Segmento
: de a - Segmento
: de a
Vamos calcular a integral em cada um desses segmentos separadamente.
Passo 3
Calculando a integral no segmento
: de
a
Aqui, podemos parametrizar o caminho como:
Derivando, temos:
Substituindo na integral:
Calculando cada parte:
Somando:
Passo 4
Calculando a integral no segmento
: de
a
Neste caso,
é constante igual a 1, e
varia de 1 para 0. Podemos parametrizar como:
Derivando, temos:
Substituindo na integral:
Simplificando:
Calculando cada parte:
Somando:
Passo 5
Calculando a integral no segmento
: de
a
Aqui,
é constante igual a 0, e
varia de 1 para 0. Podemos parametrizar como:
Derivando, temos:
Substituindo na integral:
Ou seja, a integral no segmento
é zero.
Passo 6
Agora, somamos as integrais dos três segmentos para obter o resultado final:
Resposta
A integral de linha vale
.
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Calcule
.