Encontre a integral de linha:
ointC(x^2+y^2) d x+x y d y, C é triangulo (0,0)-(1,1)-(0,1).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral de linha do tipo , onde é o contorno de um triângulo com vértices em , e . O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de integrais de linha em geometria vetorial. Para resolver, precisamos dividir o contorno em três segmentos e calcular a integral em cada um deles.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os três segmentos que formam o triângulo :
  1. Segmento : de a
  2. Segmento : de a
  3. Segmento : de a
Vamos calcular a integral em cada um desses segmentos separadamente.

Passo 3

Calculando a integral no segmento x = t, y = t onde t in [0, 1] : de dx = dt, dy = dt a integralC1 (x^2+y^2) dx + x y dy = integral0^1 (t^2 + t^2) dt + t cdot t cdot dt = integral0^1 2t^2 dt + integral0^1 t^2 dt
Aqui, podemos parametrizar o caminho como:
integral0^1 2t^2 dt = 2 cdot 1^33 = 23
Derivando, temos:
integral0^1 t^2 dt = 13
Substituindo na integral:
23 + 13 = 1
Calculando cada parte:
Somando:

Passo 4

Calculando a integral no segmento x = 1 - t, y = 1 onde t in [0, 1] : de dx = -dt, dy = 0 a integralC2 (x^2+y^2) dx + x y dy = integral0^1 ((1-t)^2 + 1^2) (-dt) + (1-t) cdot 1 cdot 0 = integral0^1 (1 - 2t + t^2 + 1) (-dt)
Neste caso, integral0^1 (-2 + 2t - t^2) dt é constante igual a 1, e integral0^1 -2 dt = -2 cdot 1 = -2 varia de 1 para 0. Podemos parametrizar como:
integral0^1 2t dt = 2 cdot 1^22 = 1
Derivando, temos:
integral0^1 -t^2 dt = -13
Substituindo na integral:
-2 + 1 - 13 = -43
Simplificando:
Calculando cada parte:
Somando:

Passo 5

Calculando a integral no segmento x = 0, y = 1 - t onde t in [0, 1] : de dx = 0, dy = -dt a integralC3 (x^2+y^2) dx + x y dy = integral0^1 (0^2 + (1-t)^2) cdot 0 + 0 cdot (1-t) cdot (-dt) = 0
Aqui, é constante igual a 0, e varia de 1 para 0. Podemos parametrizar como:
Derivando, temos:
Substituindo na integral:
Ou seja, a integral no segmento é zero.

Passo 6

Agora, somamos as integrais dos três segmentos para obter o resultado final:
Integral total = integralC1 + integralC2 + integralC3 = 1 + (-43) + 0 = -13

Resposta

A integral de linha vale .

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