Encontre a integral de linha:
é triangulo .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral de linha do tipo , onde é o contorno de um triângulo com vértices em , e . O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de integrais de linha em geometria vetorial. Para resolver, precisamos dividir o contorno em três segmentos e calcular a integral em cada um deles.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os três segmentos que formam o triângulo :
  1. Segmento : de a
  2. Segmento : de a
  3. Segmento : de a
Vamos calcular a integral em cada um desses segmentos separadamente.

Passo 3

Calculando a integral no segmento : de a
Aqui, podemos parametrizar o caminho como:
Derivando, temos:
Substituindo na integral:
Calculando cada parte:
Somando:

Passo 4

Calculando a integral no segmento : de a
Neste caso, é constante igual a 1, e varia de 1 para 0. Podemos parametrizar como:
Derivando, temos:
Substituindo na integral:
Simplificando:
Calculando cada parte:
Somando:

Passo 5

Calculando a integral no segmento : de a
Aqui, é constante igual a 0, e varia de 1 para 0. Podemos parametrizar como:
Derivando, temos:
Substituindo na integral:
Ou seja, a integral no segmento é zero.

Passo 6

Agora, somamos as integrais dos três segmentos para obter o resultado final:

Resposta

A integral de linha vale .

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Calcule .