Encontre a integral de linha:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha que é do tipo
. Esse tipo de problema está dentro do cálculo vetorial, especificamente em integrais de linha. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva
que é dada por
no intervalo de
até
.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. Como
, podemos usar
como nosso parâmetro. Assim, definimos:
onde
varia de
a
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as expressões para
e
em termos de
, já que estamos usando
como parâmetro.
Passo 4
Vamos substituir
,
,
e
na integral original:
Simplificando:
Passo 5
Vamos calcular cada integral separadamente. Primeiro:
Sabemos que a integral de
de
a
para
par é:
Portanto:
Passo 6
Agora, a segunda integral:
Como
é uma função ímpar, a integral de
a
de uma função ímpar é zero:
Resposta
Somando as duas integrais:
Portanto, a integral de linha é
.
Exercícios relacionados
Calcule
.
Encontre a integral de linha:
Verifique que se o campo esta conservativo, e encontre a integral, justifique.
.