Encontre a integral de linha:
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha que é do tipo . Esse tipo de problema está dentro do cálculo vetorial, especificamente em integrais de linha. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva que é dada por no intervalo de até .

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva . Como , podemos usar como nosso parâmetro. Assim, definimos:
onde varia de a .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as expressões para e em termos de , já que estamos usando como parâmetro.

Passo 4

Vamos substituir , , e na integral original:
Simplificando:

Passo 5

Vamos calcular cada integral separadamente. Primeiro:
Sabemos que a integral de de a para par é:
Portanto:

Passo 6

Agora, a segunda integral:
Como é uma função ímpar, a integral de a de uma função ímpar é zero:

Resposta

Somando as duas integrais:
Portanto, a integral de linha é .

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Calcule .
Encontre a integral de linha:
Verifique que se o campo esta conservativo, e encontre a integral, justifique.
.