Encontre a integral de linha:
integralC x^2 y d x+y d y, C: y=x^2,-1 <= x <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha que é do tipo . Esse tipo de problema está dentro do cálculo vetorial, especificamente em integrais de linha. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva que é dada por no intervalo de até .

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva x = t, y = t^2 . Como , podemos usar como nosso parâmetro. Assim, definimos:
onde varia de a .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as expressões para dx = dxdt , dt = 1 , dt e dy = dydt , dt = 2t , dt em termos de , já que estamos usando como parâmetro.

Passo 4

Vamos substituir integralC x^2 y , dx + y , dy = integral-1^1 (t^2 cdot t^2) cdot 1 , dt + integral-1^1 t^2 cdot 2t , dt , integral-1^1 t^4 , dt + integral-1^1 2t^3 , dt , e na integral original:
Simplificando:

Passo 5

Vamos calcular cada integral separadamente. Primeiro:
integral-1^1 t^4 , dt
Sabemos que a integral de 2 integral0^a t^n , dt de 2 integral0^1 t^4 , dt = 2 [ t^55 ]0^1 = 2 ( 15 - 0 ) = 25 a para par é:
Portanto:

Passo 6

Agora, a segunda integral:
integral-1^1 2t^3 , dt
Como integral-1^1 t^3 , dt = 0 implies integral-1^1 2t^3 , dt = 0 é uma função ímpar, a integral de a de uma função ímpar é zero:

Resposta

Somando as duas integrais:
25 + 0 = 25
Portanto, a integral de linha é .

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