Calcule
integral0^pi / 4 tan ^4 x d x
( ) pi4+13
( ) -pi4+13
( ) pi4-23
( ) -pi4+23
( ) -pi4-43

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral juntos! A gente precisa calcular a integral definida de tan^4 x de 0 até pi/4. Isso envolve funções trigonométricas e algumas manhas de integração. Vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de integração passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão tan^4 x. Sabemos que tan^2 x pode ser reescrita usando a identidade trigonométrica tan^2 x = sec^2 x - 1. Então, elevando isso ao quadrado, temos:
tan^4 x = (tan^2 x)^2 = (sec^2 x - 1)^2

Passo 3

Agora, vamos expandir (sec^2 x - 1)^2 para facilitar a integração:
tan^4 x = sec^4 x - 2sec^2 x + 1
Isso nos permite dividir a integral original em partes mais simples:
integral tan^4 x , dx = integral (sec^4 x - 2sec^2 x + 1) , dx = integral sec^4 x , dx - 2integral sec^2 x , dx + integral 1 , dx

Passo 4

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. Começando pela mais fácil:
integral sec^2 x , dx = tan x + C
E:
integral 1 , dx = x + C

Passo 5

A parte mais complicada é a integral de sec^4 x , dx. Para resolver isso, usamos uma técnica de integração por partes ou uma redução de potência. A integral de sec^4 x resulta em:
integral sec^4 x , dx = tan x + 13tan^3 x + C

Passo 6

Agora, substituímos todas as integrais de volta na expressão original:
integral tan^4 x , dx = ( tan x + 13tan^3 x ) - 2(tan x) + x + C
Simplificando isso:
integral tan^4 x , dx = x - tan x + 13tan^3 x + C

Passo 7

Finalmente, vamos calcular a integral definida de 0 até pi/4. Avaliamos a antiderivada nesses pontos:
Para x = pi/4:
pi/4 - tan(pi/4) + 13tan^3(pi/4) = pi/4 - 1 + 13(1) = pi/4 - 23
Para x = 0:
0 - tan(0) + 13tan^3(0) = 0 - 0 + 0 = 0
Então, a integral definida é:
( pi/4 - 23 ) - 0 = pi4 - 23

Resposta

A integral definida é pi4 - 23.

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