Calcule
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral juntos! A gente precisa calcular a integral definida de de 0 até . Isso envolve funções trigonométricas e algumas manhas de integração. Vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de integração passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Sabemos que pode ser reescrita usando a identidade trigonométrica . Então, elevando isso ao quadrado, temos:

Passo 3

Agora, vamos expandir para facilitar a integração:
Isso nos permite dividir a integral original em partes mais simples:

Passo 4

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. Começando pela mais fácil:
E:

Passo 5

A parte mais complicada é a integral de . Para resolver isso, usamos uma técnica de integração por partes ou uma redução de potência. A integral de resulta em:

Passo 6

Agora, substituímos todas as integrais de volta na expressão original:
Simplificando isso:

Passo 7

Finalmente, vamos calcular a integral definida de 0 até . Avaliamos a antiderivada nesses pontos:
Para :
Para :
Então, a integral definida é:

Resposta

A integral definida é .

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Calcule
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Nos problemas , resolva a equação diferencial dada por meio de uma substituição apropriada.
15.
16.
17.
18.
19.)
Determine se a sequência converge ou diverge e se a série converge ou diverge.
. (a sequência converge para 0 e a série converge para .)