Calcule
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral juntos! A gente precisa calcular a integral definida de
de 0 até
. Isso envolve funções trigonométricas e algumas manhas de integração. Vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de integração passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Sabemos que
pode ser reescrita usando a identidade trigonométrica
. Então, elevando isso ao quadrado, temos:
Passo 3
Agora, vamos expandir
para facilitar a integração:
Isso nos permite dividir a integral original em partes mais simples:
Passo 4
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. Começando pela mais fácil:
E:
Passo 5
A parte mais complicada é a integral de
. Para resolver isso, usamos uma técnica de integração por partes ou uma redução de potência. A integral de
resulta em:
Passo 6
Agora, substituímos todas as integrais de volta na expressão original:
Simplificando isso:
Passo 7
Finalmente, vamos calcular a integral definida de 0 até
. Avaliamos a antiderivada nesses pontos:
Para
:
Para
:
Então, a integral definida é:
Resposta
A integral definida é
.
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Calcule
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Nos problemas
, resolva a equação diferencial dada por meio de uma substituição apropriada.
15.
16.
17.
18.
19.)
15.
16.
17.
18.
19.)
Determine se a sequência
converge ou diverge e se a série
converge ou diverge.
. (a sequência converge para 0 e a série converge para
.)