Calcule
( )
( )
( )
( )
( )

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida:
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrando uma função racional. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que nos ajuda a decompôr frações complexas em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração em frações parciais. Isso significa que queremos escrever essa expressão como a soma de duas frações:
Aqui, , e são constantes que vamos determinar.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Agora, vamos expandir e simplificar o lado direito:

Passo 4

Agrupando os termos semelhantes:
Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Termo constante:

Passo 5

Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação:
Substituindo na terceira equação:
Agora, substituindo na segunda equação:
Então, e .

Passo 6

Agora que temos os valores de , e , a decomposição em frações parciais fica:

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Para a primeira integral, fazemos uma substituição simples:
Então:
Para a segunda integral, notamos que o numerador é a derivada de , o que sugere:
Mas temos apenas , então ajustamos:

Passo 8

Juntando as duas integrais:
Agora, aplicamos os limites de 1 a 2:
Calculando em :
E em :
Subtraindo:

Resposta

Exercícios relacionados

Verifique o tipo das equações diferenciais ordinárias apresentadas na coluna 1 , relacionando-as com sua classificação na coluna 2 e justificando cada resposta com argumentos matemáticos. Não é necessário determinar a solução da EDO. A classificação sem a devida justificativa não será considerada.

Equação Diferencial Ordinária

( e )

Classificação

( ) Separável
( ) Homogênea
( ) Exata
( ) Linear
( ) Bernoulli
Calcule
( )
( )
( )
( )
( )
Nos problemas , resolva a equação diferencial dada por meio de uma substituição apropriada.
15.
16.
17.
18.
19.)