Calcule
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral definida:
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrando uma função racional. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que nos ajuda a decompôr frações complexas em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a fração
em frações parciais. Isso significa que queremos escrever essa expressão como a soma de duas frações:
Aqui,
,
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 3
Multiplicando ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Agora, vamos expandir e simplificar o lado direito:
Passo 4
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
- Para
:
- Para
:
- Termo constante:
Passo 5
Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação:
Substituindo
na terceira equação:
Agora, substituindo
na segunda equação:
Então,
e
.
Passo 6
Agora que temos os valores de
,
e
, a decomposição em frações parciais fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Para a primeira integral, fazemos uma substituição simples:
Então:
Para a segunda integral, notamos que o numerador é a derivada de
, o que sugere:
Mas temos apenas
, então ajustamos:
Passo 8
Juntando as duas integrais:
Agora, aplicamos os limites de 1 a 2:
Calculando em
:
E em
:
Subtraindo: