Calcule
integral1^2 x+6(2 x-1)(x^2+3)
( ) -2 ln 3+ln 7+12 ln 4
( ) -2 ln 3+13 ln 7+13 ln 4
( ) ln 3+ln 7-13 ln 4
( ) ln 3-14 ln 7-ln 4
( ) ln 3-12 ln 7+12 ln 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida:
integral1^2 x+6(2x-1)(x^2+3) , dx
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrando uma função racional. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que nos ajuda a decompôr frações complexas em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração x+6(2x-1)(x^2+3) = A2x - 1 + Bx + Cx^2 + 3 em frações parciais. Isso significa que queremos escrever essa expressão como a soma de duas frações:
Aqui, , e são constantes que vamos determinar.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados da equação por x + 6 = A(x^2 + 3) + (Bx + C)(2x - 1) para eliminar os denominadores:
x + 6 = A x^2 + 3A + 2Bx^2 - Bx + 2Cx - C
Agora, vamos expandir e simplificar o lado direito:

Passo 4

Agrupando os termos semelhantes:
x + 6 = (A + 2B) x^2 + ( -B + 2C) x + (3A - C)
Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
  1. Para A + 2B = 0 :
-B + 2C = 1
  1. Para 3A - C = 6 :
  1. Termo constante:

Passo 5

Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação:
A = -2B
Substituindo 3(-2B) - C = 6 implies -6B - C = 6 implies C = -6B - 6 na terceira equação:
-B + 2(-6B - 6) = 1 implies -B -12B -12 = 1 implies -13B = 13 implies B = -1
Agora, substituindo na segunda equação:
Então, e .

Passo 6

Agora que temos os valores de x+6(2x-1)(x^2+3) = 22x - 1 + -xx^2 + 3 , e , a decomposição em frações parciais fica:

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 22x - 1 , dx + integral -xx^2 + 3 , dx
Para a primeira integral, fazemos uma substituição simples:
u = 2x - 1 implies du = 2 , dx implies dx = du2
Então:
integral 2u cdot du2 = integral 1u , du = ln|u| + C = ln|2x - 1| + C
Para a segunda integral, notamos que o numerador é a derivada de v = x^2 + 3 implies dv = 2x , dx , o que sugere:
integral -xx^2 + 3 , dx = -12 ln|x^2 + 3| + C
Mas temos apenas , então ajustamos:

Passo 8

Juntando as duas integrais:
ln|2x - 1| - 12 ln|x^2 + 3| + C
Agora, aplicamos os limites de 1 a 2:
[ ln(2x - 1) - 12 ln(x^2 + 3) ]1^2
Calculando em ln(4 - 1) - 12 ln(4 + 3) = ln(3) - 12 ln(7) :
ln(2 - 1) - 12 ln(1 + 3) = ln(1) - 12 ln(4) = 0 - 12 ln(4)
E em ( ln(3) - 12 ln(7) ) - ( - 12 ln(4) ) = ln(3) - 12 ln(7) + 12 ln(4) :
Subtraindo:

Resposta

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