Nos problemas 15 - 20, resolva a equação diferencial dada por meio de uma substituição apropriada.
15. x d/y d x + y = 1/y^2
16. d y/d x - y = e^x y^2
17. d y/d x = y(x y^3 - 1)
18. x dy/dx - (1+x) y = x y^2
19.) t^2 * dy/dt + y^2 = t * y

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial . Estamos lidando com uma equação diferencial não linear de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, podemos utilizar uma substituição adequada que simplifique a equação, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolarmos :
Dividindo ambos os lados por :

Passo 3

Observamos que a equação pode ser escrita na forma:
Vamos fazer a substituição . Isso significa que .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada de em relação a :

Passo 5

Substituindo e na equação original:
Simplificando:

Passo 6

Agora, temos uma equação separável:
Integrando ambos os lados:

Passo 7

Calculando as integrais:
Simplificando:

Passo 8

Resolvendo para :
Lembrando que :

Passo 9

Finalmente, isolando :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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