Nos problemas
, resolva a equação diferencial dada por meio de uma substituição apropriada.
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Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
. Estamos lidando com uma equação diferencial não linear de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, podemos utilizar uma substituição adequada que simplifique a equação, facilitando a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolarmos
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 3
Observamos que a equação pode ser escrita na forma:
Vamos fazer a substituição
. Isso significa que
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada de
em relação a
:
Passo 5
Substituindo
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 6
Agora, temos uma equação separável:
Integrando ambos os lados:
Passo 7
Calculando as integrais:
Simplificando:
Passo 8
Resolvendo para
:
Lembrando que
:
Passo 9
Finalmente, isolando
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Calcule
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Calcule
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Determine se a sequência
converge ou diverge e se a série
converge ou diverge.
. (a sequência converge para 0 e a série converge para
.)
Determine se a série converge ou diverge:
. (diverge.)