Nos problemas , resolva a equação diferencial dada por meio de uma substituição apropriada.
15.
16.
17.
18.
19.)

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial . Estamos lidando com uma equação diferencial não linear de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, podemos utilizar uma substituição adequada que simplifique a equação, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolarmos :
Dividindo ambos os lados por :

Passo 3

Observamos que a equação pode ser escrita na forma:
Vamos fazer a substituição . Isso significa que .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada de em relação a :

Passo 5

Substituindo e na equação original:
Simplificando:

Passo 6

Agora, temos uma equação separável:
Integrando ambos os lados:

Passo 7

Calculando as integrais:
Simplificando:

Passo 8

Resolvendo para :
Lembrando que :

Passo 9

Finalmente, isolando :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Calcule
( )
( )
( )
( )
( )
Calcule
( )
( )
( )
( )
( )
Determine se a sequência converge ou diverge e se a série converge ou diverge.
. (a sequência converge para 0 e a série converge para .)
Determine se a série converge ou diverge:
. (diverge.)