Determine se a sequência ann in N converge ou diverge e se a série sumn=1^infty an converge ou diverge.
an=(-3)^n-14^n. (a sequência converge para 0 e a série converge para 17.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a sequência e a série convergem ou divergem. A matéria envolvida aqui é Sequências e Séries, e vamos precisar entender como calcular limites e analisar séries do tipo geométrico.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a sequência . Uma sequência converge se ela se aproxima de um número específico quando vai para o infinito.

Passo 3

Para encontrar o limite da sequência, vamos simplificar a expressão:
an = (-3)^n-14^n = (-3)^n cdot (-3)^-14^n = 1-3 ( -34 )^n

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando limn to infty an = 1-3 limn to infty ( -34 )^n tende ao infinito:

Passo 5

Observamos que . Quando a base de uma potência está entre -1 e 1, a potência tende a zero à medida que cresce.

Passo 6

Portanto:
limn to infty an = 1-3 cdot 0 = 0
Isso significa que a sequência converge para 0.

Passo 7

Agora, vamos analisar a série . Sabemos que se a sequência tende a zero e a série for geométrica com razão onde , então a série converge.

Passo 8

Identificando a série geométrica, temos:
r = -34
Como , a série converge.

Passo 9

Para encontrar a soma da série geométrica, usamos a fórmula:
S = a11 - r
Onde

Passo 10

Substituindo na fórmula:
S = 141 - ( -34 ) = 141 + 34 = 1474 = 17

Resposta

A sequência converge para 0 e a série converge para .

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