Determine se a sequência converge ou diverge e se a série converge ou diverge. . (a sequência converge para 0 e a série converge para .)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a sequência e a série convergem ou divergem. A matéria envolvida aqui é Sequências e Séries, e vamos precisar entender como calcular limites e analisar séries do tipo geométrico.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a sequência . Uma sequência converge se ela se aproxima de um número específico quando vai para o infinito.
Passo 3
Para encontrar o limite da sequência, vamos simplificar a expressão:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Passo 5
Observamos que . Quando a base de uma potência está entre -1 e 1, a potência tende a zero à medida que cresce.
Passo 6
Portanto:
limn to infty an = 1-3 cdot 0 = 0
Isso significa que a sequência converge para 0.
Passo 7
Agora, vamos analisar a série . Sabemos que se a sequência tende a zero e a série for geométrica com razão onde , então a série converge.
Passo 8
Identificando a série geométrica, temos:
r = -34
Como , a série converge.
Passo 9
Para encontrar a soma da série geométrica, usamos a fórmula:
S = a11 - r
Onde
Passo 10
Substituindo na fórmula:
S = 141 - ( -34 ) = 141 + 34 = 1474 = 17
Resposta
A sequência converge para 0 e a série converge para .