Calcule
integral1^e 1raizx ln x d x
( ) 1+2 raize
( ) 3-2 raize
( ) 1-12 raize
( ) 2+raize
( ) 4-2 raize

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral definida de no intervalo de 1 até . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrando uma função que envolve logaritmo e raiz quadrada. Para resolver isso, vamos usar o método de integração por partes, que é uma técnica útil quando temos o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que vamos chamar de e . No método de integração por partes, escolhemos como a parte que simplifica ao derivar, e como a parte que é fácil de integrar.
Escolhemos:
  • (porque a derivada do logaritmo é mais simples)
  • (porque integrar é direto)

Passo 3

Agora, vamos derivar e integrar :
  • Derivada de :
  • Integral de :

Passo 4

Aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que achamos:
integral ln x cdot 1raizx dx = ln x cdot 2raizx - integral 2raizx cdot 1x dx

Passo 5

Agora, simplificamos a segunda integral:
2raizx cdot 1x = 2raizx
Então, a integral fica:
2raizx ln x - 2 integral 1raizx dx

Passo 6

Vamos integrar integral 1raizx dx = 2raizx :
2raizx ln x - 2 cdot 2raizx = 2raizx ln x - 4raizx
Portanto, substituindo de volta:

Passo 7

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de 1 até 2raize ln e - 4raize = 2raize cdot 1 - 4raize = -2raize :
Para 2raiz1 ln 1 - 4raiz1 = 0 - 4 = -4 :
Para :

Passo 8

Subtraindo o valor em -2raize - (-4) = -2raize + 4 = 4 - 2raize do valor em :

Resposta

A integral vale .

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