Calcule
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral definida de
no intervalo de 1 até
. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrando uma função que envolve logaritmo e raiz quadrada. Para resolver isso, vamos usar o método de integração por partes, que é uma técnica útil quando temos o produto de duas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que vamos chamar de
e
. No método de integração por partes, escolhemos
como a parte que simplifica ao derivar, e
como a parte que é fácil de integrar.
Escolhemos:
-
(porque a derivada do logaritmo é mais simples) -
(porque integrar é direto)
Passo 3
Agora, vamos derivar
e integrar
:
- Derivada de
: - Integral de
:
Passo 4
Aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que achamos:
Passo 5
Agora, simplificamos a segunda integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos integrar
:
Portanto, substituindo de volta:
Passo 7
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de 1 até
:
Para
:
Para
:
Passo 8
Subtraindo o valor em
do valor em
:
Resposta
A integral vale
.