Calcule:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral definida:
. Isso é de cálculo integral, onde a gente vai precisar usar substituição para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar em fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da integral. Vamos chamar
. Isso vai ajudar a gente a lidar com o termo
.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
. Então,
. Isso é útil porque na nossa integral temos um termo
, que podemos relacionar com
.
Passo 4
Vamos rearranjar a expressão de
para substituir na integral. Como
, multiplicando ambos os lados por 2, temos
.
Passo 5
Substituindo tudo na integral original, ficamos com:
Agora precisamos ajustar os limites de integração. Quando
,
. Quando
,
. Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos integrar
em relação a
. A integral de
é
, então:
Portanto, a antiderivada é
.
Passo 7
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 2:
Convertendo para fração, temos
.
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Seja
e
. Determine: O volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto
.
Considere a sequência
definida por
.
a. Usando o princípio da indução, mostre que e que a sequência é decrescente.
b. Calcule o limite da sequência.
a. Usando o princípio da indução, mostre que
b. Calcule o limite da sequência.
(Dificílimas!!!) Seja
uma sequência limitada à qual satisfaz a seguinte condição
. Mostre que ela é convergente. (Dica: Considere a sequência