Calcule: integral0^1 4 x(x^2+1)^3 d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: . Isso é de cálculo integral, onde a gente vai precisar usar substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da integral. Vamos chamar . Isso vai ajudar a gente a lidar com o termo .

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a para encontrar . Então, . Isso é útil porque na nossa integral temos um termo , que podemos relacionar com .

Passo 4

Vamos rearranjar a expressão de para substituir na integral. Como , multiplicando ambos os lados por 2, temos .

Passo 5

Substituindo tudo na integral original, ficamos com:
integral0^1 4x(x^2+1)^3 dx = integralu(0)^u(1) 2u^3 du
Agora precisamos ajustar os limites de integração. Quando integral1^2 2u^3 du , . Quando , . Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos integrar 2 cdot u^44 = u^42 em relação a . A integral de é , então:
Portanto, a antiderivada é .

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 2:
2^42 - 1^42 = 162 - 12 = 8 - 0,5 = 7,5
Convertendo para fração, temos .

Resposta

O valor da integral é .

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