Calcule: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: . Isso é de cálculo integral, onde a gente vai precisar usar substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da integral. Vamos chamar . Isso vai ajudar a gente a lidar com o termo .

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a para encontrar . Então, . Isso é útil porque na nossa integral temos um termo , que podemos relacionar com .

Passo 4

Vamos rearranjar a expressão de para substituir na integral. Como , multiplicando ambos os lados por 2, temos .

Passo 5

Substituindo tudo na integral original, ficamos com:
Agora precisamos ajustar os limites de integração. Quando , . Quando , . Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos integrar em relação a . A integral de é , então:
Portanto, a antiderivada é .

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 2:
Convertendo para fração, temos .

Resposta

O valor da integral é .

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Seja e . Determine: O volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo , do conjunto .
Considere a sequência definida por .
a. Usando o princípio da indução, mostre que e que a sequência é decrescente.
b. Calcule o limite da sequência.
(Dificílimas!!!) Seja uma sequência limitada à qual satisfaz a seguinte condição . Mostre que ela é convergente. (Dica: Considere a sequência