(Dificílimas!!!) Seja
uma sequência limitada à qual satisfaz a seguinte condição
. Mostre que ela é convergente. (Dica: Considere a sequência
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo e quais conceitos vamos utilizar. Temos uma sequência
que é limitada, ou seja, seus termos não crescem indefinidamente. Além disso, a sequência satisfaz a condição
para todo número natural
. Nosso objetivo é mostrar que essa sequência é convergente, ou seja, que ela se aproxima de um valor específico conforme
cresce.
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de análise de sequências, especialmente as noções de sequência limitada e critérios de convergência. A dica fornecida sugere que consideremos a sequência
, que vai nos ajudar a analisar o comportamento da sequência original.
Passo 2
Vamos definir uma nova sequência baseada na dica:
. Nosso objetivo é entender como
se comporta e usar isso para inferir sobre
.
Primeiro, substituímos
por
na definição de
:
Passo 3
Agora, vamos relacionar
e
usando a condição dada no exercício
:
Mas, pela definição de
, sabemos que
. Então:
Passo 4
O que acabamos de mostrar é que a sequência
é crescente, ou seja, cada termo é maior ou igual ao anterior:
Além disso, como
é uma sequência limitada, existe um limite superior
tal que
para todo
. Vamos verificar se
também é limitada.
Substituindo a definição de
:
E, similarmente,
está limitado superiormente por
, já que
e
é positivo.
Portanto,
é uma sequência crescente e limitada superiormente, o que nos permite aplicar o Teorema da Convergência Monótona.
Passo 5
Segundo o Teorema da Convergência Monótona, toda sequência que é crescente e limitada superiormente é convergente. Portanto, a sequência
converge para um certo limite
.
Isso significa que:
Ou seja:
Passo 6
Agora, vamos relacionar esse limite
com a sequência original
. Sabemos que
tende a zero quando
tende ao infinito, pois:
Portanto, podemos escrever:
Resposta
Concluímos que a sequência
é convergente e seu limite é
, dado que a sequência auxiliar
é crescente e limitada, garantindo a convergência de
.
Exercícios relacionados
Considere a sequência
definida por
.
a. Usando o princípio da indução, mostre que e que a sequência é decrescente.
b. Calcule o limite da sequência.
a. Usando o princípio da indução, mostre que
b. Calcule o limite da sequência.
Calcule:
.
Seja
e
. Determine: O volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto
.
Em um circuito
, considere
constante. Encontre a carga e
e
.