(Dificílimas!!!) Seja uma sequência limitada à qual satisfaz a seguinte condição . Mostre que ela é convergente. (Dica: Considere a sequência

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo e quais conceitos vamos utilizar. Temos uma sequência que é limitada, ou seja, seus termos não crescem indefinidamente. Além disso, a sequência satisfaz a condição para todo número natural . Nosso objetivo é mostrar que essa sequência é convergente, ou seja, que ela se aproxima de um valor específico conforme cresce.
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de análise de sequências, especialmente as noções de sequência limitada e critérios de convergência. A dica fornecida sugere que consideremos a sequência , que vai nos ajudar a analisar o comportamento da sequência original.

Passo 2

Vamos definir uma nova sequência baseada na dica: . Nosso objetivo é entender como se comporta e usar isso para inferir sobre .
Primeiro, substituímos por na definição de :

Passo 3

Agora, vamos relacionar e usando a condição dada no exercício :
Mas, pela definição de , sabemos que . Então:

Passo 4

O que acabamos de mostrar é que a sequência é crescente, ou seja, cada termo é maior ou igual ao anterior:
Além disso, como é uma sequência limitada, existe um limite superior tal que para todo . Vamos verificar se também é limitada.
Substituindo a definição de :
E, similarmente, está limitado superiormente por , já que e é positivo.
Portanto, é uma sequência crescente e limitada superiormente, o que nos permite aplicar o Teorema da Convergência Monótona.

Passo 5

Segundo o Teorema da Convergência Monótona, toda sequência que é crescente e limitada superiormente é convergente. Portanto, a sequência converge para um certo limite .
Isso significa que:
Ou seja:

Passo 6

Agora, vamos relacionar esse limite com a sequência original . Sabemos que tende a zero quando tende ao infinito, pois:
Portanto, podemos escrever:

Resposta

Concluímos que a sequência é convergente e seu limite é , dado que a sequência auxiliar é crescente e limitada, garantindo a convergência de .

Exercícios relacionados

Considere a sequência definida por .
a. Usando o princípio da indução, mostre que e que a sequência é decrescente.
b. Calcule o limite da sequência.
Calcule: .
Seja e . Determine: O volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo , do conjunto .
Em um circuito , considere constante. Encontre a carga e e .