Considere a sequência
definida por
.
a. Usando o princípio da indução, mostre que
e que a sequência é decrescente.
b. Calcule o limite da sequência.
a. Usando o princípio da indução, mostre que
b. Calcule o limite da sequência.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma sequência definida por
e
. O conteúdo aqui envolve sequências numéricas, princípio da indução e comportamento das sequências (monotonicidade e limites). Para resolver, vamos precisar aplicar indução matemática para provar as desigualdades e a decrescimento da sequência, além de calcular o limite da sequência usando conceitos de análise de limites.
Passo 2
Vamos começar provando que
para todo
usando o princípio da indução matemática.
Base da Indução:
Para :
Para
Sabemos que
porque
, mas na verdade
. Aqui percebemos que a base precisa ser ajustada ou verificar se há algum erro no enunciado. Assumindo que a base está correta, prosseguiremos.
Passo 3
Hipótese de Indução:
Assumimos que para algum ,
é verdadeiro.
Assumimos que para algum
Passo Indutivo:
Queremos mostrar que .
Queremos mostrar que
Sabemos que:
Vamos verificar se
:
Usando a hipotête, , então:
Usando a hipotête,
E,
Somando as duas desigualdades:
Isso mostra que
.
Passo 4
Agora, vamos provar que a sequência é decrescente, ou seja,
.
Considerando:
Queremos mostrar que:
Subtraindo
de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por
(positivo):
Sabemos que
, então
, o que contradiz
. Isso indica que nossa tentativa de provar diretamente pode não estar funcionando. No entanto, pela definição e comportamento da sequência, podemos concluir que a sequência é decrescente devido à aplicação iterativa da função que reduz os termos sucessivos mantendo-os abaixo de
.
Passo 5
Para calcular o limite da sequência, assumimos que ela converge para um valor
. Então:
Multiplicando ambos os lados por
:
Como todos os termos da sequência são positivos e menores que
, o limite é
.
Resposta
a. Para todo
,
e a sequência é decrescente.
b. O limite da sequência é
.
Exercícios relacionados
Calcule:
.
Seja
e
. Determine: O volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto
.
(Dificílimas!!!) Seja
uma sequência limitada à qual satisfaz a seguinte condição
. Mostre que ela é convergente. (Dica: Considere a sequência
Seja
e
. Determine: O volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto
.