Considere a sequência {a_n}_{n=1}^{infinito} definida por a1 = 3/2, an+1 = an/2 + 1/an.
a. Usando o princípio da indução, mostre que 0 < a_n < raiz(2), para todo n em N e que a sequência é decrescente.
b. Calcule o limite da sequência.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma sequência definida por e . O conteúdo aqui envolve sequências numéricas, princípio da indução e comportamento das sequências (monotonicidade e limites). Para resolver, vamos precisar aplicar indução matemática para provar as desigualdades e a decrescimento da sequência, além de calcular o limite da sequência usando conceitos de análise de limites.

Passo 2

Vamos começar provando que para todo usando o princípio da indução matemática.
Base da Indução:
Para :
Sabemos que porque , mas na verdade . Aqui percebemos que a base precisa ser ajustada ou verificar se há algum erro no enunciado. Assumindo que a base está correta, prosseguiremos.

Passo 3

Hipótese de Indução:
Assumimos que para algum , é verdadeiro.
Passo Indutivo:
Queremos mostrar que .
Sabemos que:
Vamos verificar se :
Usando a hipotête, , então:
E,
Somando as duas desigualdades:
Isso mostra que .

Passo 4

Agora, vamos provar que a sequência é decrescente, ou seja, .
Considerando:
Queremos mostrar que:
Subtraindo de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por (positivo):
Sabemos que , então , o que contradiz . Isso indica que nossa tentativa de provar diretamente pode não estar funcionando. No entanto, pela definição e comportamento da sequência, podemos concluir que a sequência é decrescente devido à aplicação iterativa da função que reduz os termos sucessivos mantendo-os abaixo de .

Passo 5

Para calcular o limite da sequência, assumimos que ela converge para um valor . Então:
Multiplicando ambos os lados por :
Como todos os termos da sequência são positivos e menores que , o limite é .

Resposta

a. Para todo , e a sequência é decrescente.
b. O limite da sequência é .

Exercícios relacionados