(d) integral 2x^2-9 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver a integral . Isso está relacionado ao conteúdo de integração de funções racionais, e vamos usar um método chamado frações parciais para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) . Esse polinômio pode ser fatorado como uma diferença de quadrados. Lembra que ? Então, aplicando isso:

Passo 3

Agora que fatoramos o denominador, a gente expressa a fração original usando frações parciais. Ou seja, vamos escrever:
2x^2 - 9 = Ax - 3 + Bx + 3
Aqui, A e B são constantes que precisamos descobrir.

Passo 4

Para encontrar os valores de A e B, multiplicamos ambos os lados por 2 = A(x + 3) + B(x - 3) para eliminar os denominadores:
2 = A(3 + 3) + B(3 - 3) implies 2 = 6A implies A = 26 = 13
Agora, vamos escolher valores de 2 = A(-3 + 3) + B(-3 - 3) implies 2 = -6B implies B = -26 = -13 que simplifiquem a equação. Primeiro, substituímos :
Em seguida, substituímos :

Passo 5

Agora que temos A e B, substituímos de volta na expressão das frações parciais:
2x^2 - 9 = 13x - 3 + -13x + 3 = 13(x - 3) - 13(x + 3)
Vamos integrar cada termo separadamente:
integral 2x^2-9 , dx = 13 integral 1x - 3 , dx - 13 integral 1x + 3 , dx
Lembrando que , onde C é a constante de integração.

Resposta

Finalmente, juntando tudo:
integral 2x^2-9 , dx = 13 ln|x - 3| - 13 ln|x + 3| + C

Exercícios relacionados