Calcule: integral0^2 x^2+3 x-3 d x

Passo 1

Aqui temos um exercício que pede para calcular a integral definida de no intervalo de 0 a 2. Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente a técnica de encontrar a antiderivada de uma função polinomial e aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para resolver essa integral.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a antiderivada da função . A antiderivada de uma função é uma função cuja derivada é a função original.

Passo 3

Vamos integrar cada termo separadamente:
  • A antiderivada de é , porque a derivada de é .
  • A antiderivada de é , já que a derivada de é .
  • A antiderivada de é , porque a derivada de é .

Passo 4

Agora, somamos todas as antiderivadas:
integral (x^2 + 3x - 3) dx = x^33 + 3x^22 - 3x + C
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Como estamos calculando uma integral definida, não precisamos da constante de integração. Vamos então avaliar a antiderivada no intervalo de 0 a 2.

Passo 6

Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz para calcular a antiderivada em 2 e subtrair a antiderivada em 0:
( 2^33 + 3 cdot 2^22 - 3 cdot 2 ) - ( 0^33 + 3 cdot 0^22 - 3 cdot 0 )

Passo 7

Calculando cada termo:
Para 83 + 122 - 6 = 83 + 6 - 6 = 83 :
0 + 0 - 0 = 0
Para :

Passo 8

Subtraindo:
83 - 0 = 83

Resposta

83

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