( 2.0 pts) Use a definição de ponto de aumulação para determinar todos os pontos de acumulação dos subconjuntos de números reais
(a) O intervalo 0,1
(b) O conjunto A = {1, 0}
Definição: Seja A ⊆ R e c em R. Dizemos que c é um ponto de acumulação de A se, para cada r > 0, temos
A ∩ (B(c, r) \ {c}) ≠ ∅
isto varepsilon, c úm ponto de acumulação de A, se em qualquer bola aberta centrada em c existe pelo menos um elemento de A distinto de c.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar a definição de ponto de acumulação para encontrar todos os pontos de acumulação de dois conjuntos de números reais. A matéria envolvida aqui é Topologia dos Números Reais, mais especificamente os conceitos de ponto de acumulação e conjuntos abertos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um ponto de acumulação e como aplicá-lo aos conjuntos fornecidos.

Passo 2

Vamos começar com o item (a) O intervalo 0,1.
Um ponto de acumulação de um conjunto A é um ponto c tal que, se você pegar qualquer intervalo aberto ao redor de c, por menor que seja o raio desse intervalo, sempre vai ter pelo menos um ponto de A diferente de c dentro desse intervalo.
No caso do intervalo 0,1, queremos encontrar todos os pontos c que satisfazem essa condição.

Passo 3

No intervalo 0,1, qualquer ponto dentro desse intervalo tem essa propriedade. Por exemplo, se escolhermos e pegarmos qualquer intervalo ao redor de , sempre vai ter outros números do intervalo 0,1 dentro desse intervalo. O mesmo vale para pontos próximos às bordas, como ou .
Além disso, os pontos nas extremidades, 0 e 1, também são pontos de acumulação. Mesmo que 0 e 1 não estejam incluídos no intervalo aberto 0,1, qualquer intervalo ao redor de 0 ou 1 vai conter pontos de 0,1.

Passo 4

Portanto, todos os pontos de acumulação do intervalo 0,1 são os pontos do intervalo fechado [0,1].

Passo 5

Agora, vamos para o item (b) O conjunto A = {1, 0}.
Aqui, temos apenas dois pontos: 0 e 1. Para um ponto ser de acumulação, ele precisa ter outros pontos de A arbitrariamente próximos a ele. Mas como A só tem dois pontos, não há como ter pontos infinitamente próximos.

Passo 6

Se considerarmos o ponto 0, o único outro ponto de A é 1, que está a uma distância fixa de 1. O mesmo vale para o ponto 1, que só tem o ponto 0 a uma distância fixa. Portanto, nenhum dos pontos 0 ou 1 satisfaz a condição de ser um ponto de acumulação.

Resposta

(a) Todos os pontos no intervalo fechado [0,1] são pontos de acumulação do intervalo 0,1.
(b) O conjunto A = {1, 0} não possui pontos de acumulação.

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