( 2.0 pts) Use a definição de ponto de aumulação para determinar todos os pontos de acumulação dos subconjuntos de números reais
(a) O intervalo
(b) O conjunto
Definição: Seja e . Dizemos que é um ponto de acumulação de se, para cada , temos
isto úm ponto de acumulação de , se em qualquer bola aberta centrada em existe pelo menos um elemento de distinto de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar a definição de ponto de acumulação para encontrar todos os pontos de acumulação de dois conjuntos de números reais. A matéria envolvida aqui é Topologia dos Números Reais, mais especificamente os conceitos de ponto de acumulação e conjuntos abertos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um ponto de acumulação e como aplicá-lo aos conjuntos fornecidos.

Passo 2

Vamos começar com o item (a) O intervalo .
Um ponto de acumulação de um conjunto é um ponto tal que, se você pegar qualquer intervalo aberto ao redor de , por menor que seja o raio desse intervalo, sempre vai ter pelo menos um ponto de diferente de dentro desse intervalo.
No caso do intervalo , queremos encontrar todos os pontos que satisfazem essa condição.

Passo 3

No intervalo , qualquer ponto dentro desse intervalo tem essa propriedade. Por exemplo, se escolhermos e pegarmos qualquer intervalo ao redor de , sempre vai ter outros números do intervalo dentro desse intervalo. O mesmo vale para pontos próximos às bordas, como ou .
Além disso, os pontos nas extremidades, e , também são pontos de acumulação. Mesmo que e não estejam incluídos no intervalo aberto , qualquer intervalo ao redor de ou vai conter pontos de .

Passo 4

Portanto, todos os pontos de acumulação do intervalo são os pontos do intervalo fechado .

Passo 5

Agora, vamos para o item (b) O conjunto .
Aqui, temos apenas dois pontos: e . Para um ponto ser de acumulação, ele precisa ter outros pontos de arbitrariamente próximos a ele. Mas como só tem dois pontos, não há como ter pontos infinitamente próximos.

Passo 6

Se considerarmos o ponto , o único outro ponto de é , que está a uma distância fixa de . O mesmo vale para o ponto , que só tem o ponto a uma distância fixa. Portanto, nenhum dos pontos ou satisfaz a condição de ser um ponto de acumulação.

Resposta

(a) Todos os pontos no intervalo fechado são pontos de acumulação do intervalo .
(b) O conjunto não possui pontos de acumulação.

Exercícios relacionados

Calcule pela definição:
Calcule:
( 3.0 pts ) Considere a funçuo
Determine e em cada um dos pontos do domínio da funçāo.
( 2.0 pts Calcule caso exista