( 2.0 pts) Use a definição de ponto de aumulação para determinar todos os pontos de acumulação dos subconjuntos de números reais
(a) O intervalo
(b) O conjunto
Definição: Seja
e
. Dizemos que
é um ponto de acumulação de
se, para cada
, temos
isto
úm ponto de acumulação de
, se em qualquer bola aberta centrada em
existe pelo menos um elemento de
distinto de
.
(a) O intervalo
(b) O conjunto
Definição: Seja
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar a definição de ponto de acumulação para encontrar todos os pontos de acumulação de dois conjuntos de números reais. A matéria envolvida aqui é Topologia dos Números Reais, mais especificamente os conceitos de ponto de acumulação e conjuntos abertos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um ponto de acumulação e como aplicá-lo aos conjuntos fornecidos.
Passo 2
Vamos começar com o item (a) O intervalo
.
Um ponto de acumulação de um conjunto
é um ponto
tal que, se você pegar qualquer intervalo aberto ao redor de
, por menor que seja o raio desse intervalo, sempre vai ter pelo menos um ponto de
diferente de
dentro desse intervalo.
No caso do intervalo
, queremos encontrar todos os pontos
que satisfazem essa condição.
Passo 3
No intervalo
, qualquer ponto dentro desse intervalo tem essa propriedade. Por exemplo, se escolhermos
e pegarmos qualquer intervalo ao redor de
, sempre vai ter outros números do intervalo
dentro desse intervalo. O mesmo vale para pontos próximos às bordas, como
ou
.
Além disso, os pontos nas extremidades,
e
, também são pontos de acumulação. Mesmo que
e
não estejam incluídos no intervalo aberto
, qualquer intervalo ao redor de
ou
vai conter pontos de
.
Passo 4
Portanto, todos os pontos de acumulação do intervalo
são os pontos do intervalo fechado
.
Passo 5
Agora, vamos para o item (b) O conjunto
.
Aqui, temos apenas dois pontos:
e
. Para um ponto ser de acumulação, ele precisa ter outros pontos de
arbitrariamente próximos a ele. Mas como
só tem dois pontos, não há como ter pontos infinitamente próximos.
Passo 6
Se considerarmos o ponto
, o único outro ponto de
é
, que está a uma distância fixa de
. O mesmo vale para o ponto
, que só tem o ponto
a uma distância fixa. Portanto, nenhum dos pontos
ou
satisfaz a condição de ser um ponto de acumulação.
Resposta
(a) Todos os pontos no intervalo fechado
são pontos de acumulação do intervalo
.
(b) O conjunto
não possui pontos de acumulação.
Exercícios relacionados
Calcule
pela definição:
Calcule:
( 3.0 pts ) Considere a funçuo
Determine
e
em cada um dos pontos do domínio da funçāo.
( 2.0 pts
Calcule caso exista