Calcule as seguintes integrais utilizando o método da substituição:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de
usando o método da substituição. Isso está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções compostas, onde uma parte da função está dentro de outra. Para resolver isso, vamos precisar identificar uma parte da expressão para substituir por outra variável, simplificando a integral.
Passo 2
Vamos começar escolhendo uma substituição adequada. Olhando para a integral
, percebemos que o argumento do seno é
. Então, vamos deixar:
Essa escolha é boa porque ao derivarmos
em relação a
, vamos conseguir substituir todo o
que aparece na integral.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
:
Isso significa que:
Mas na nossa integral temos apenas
, então vamos resolver para
:
Passo 4
Agora, vamos substituir
e
na integral original:
Podemos simplificar isso retirando a constante
fora da integral:
Passo 5
Agora, a integral ficou bem mais simples:
. Sabemos que a integral do seno é o negativo do cosseno. Então:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltando à nossa substituição, lembramos que
. Vamos substituir isso de volta na expressão:
Resposta
A integral
é igual a: