Calcule as seguintes integrais utilizando o método da substituição: integral sen(x^9-2) x^8 d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de sen(x^9-2) x^8 dx usando o método da substituição. Isso está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções compostas, onde uma parte da função está dentro de outra. Para resolver isso, vamos precisar identificar uma parte da expressão para substituir por outra variável, simplificando a integral.

Passo 2

Vamos começar escolhendo uma substituição adequada. Olhando para a integral integral sen(x^9-2) x^8 dx, percebemos que o argumento do seno é x^9 - 2. Então, vamos deixar:
u = x^9 - 2
Essa escolha é boa porque ao derivarmos u em relação a x, vamos conseguir substituir todo o x^8 dx que aparece na integral.

Passo 3

Agora, vamos derivar u em relação a x para encontrar du:
dudx = 9x^8
Isso significa que:
du = 9x^8 dx
Mas na nossa integral temos apenas x^8 dx, então vamos resolver para x^8 dx:
x^8 dx = du9

Passo 4

Agora, vamos substituir u e x^8 dx na integral original:
integral sen(x^9-2) x^8 dx = integral sen(u) cdot du9
Podemos simplificar isso retirando a constante 19 fora da integral:
19 integral sen(u) du

Passo 5

Agora, a integral ficou bem mais simples: integral sen(u) du. Sabemos que a integral do seno é o negativo do cosseno. Então:
integral sen(u) du = -cos(u) + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Voltando à nossa substituição, lembramos que u = x^9 - 2. Vamos substituir isso de volta na expressão:
19 ( -cos(u) ) + C = -19 cos(x^9 - 2) + C

Resposta

A integral integral sen(x^9-2) x^8 dx é igual a:
-19 cos(x^9 - 2) + C

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