Passe para coordenadas polares e calcule integral duplaB x y d x d y onde B é o círculo x^2+y^2-2 y <= 0, x >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla integral duplaB x y , dx , dy, onde a região B é o círculo definido por x^2 + y^2 - 2y <= 0 com x >= 0. A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente mudança de coordenadas cartesianas para polares para facilitar a resolução de integrais sobre regiões circulares. Vamos precisar entender como converter as variáveis e os limites de integração para coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região B. A inequação x^2 + y^2 - 2y <= 0 pode ser reescrita completando o quadrado para o termo em y:
x^2 + (y^2 - 2y) <= 0 x^2 + (y - 1)^2 - 1 <= 0 x^2 + (y - 1)^2 <= 1
Isso descreve um círculo de raio 1 centrado no ponto (0, 1). Além disso, temos a condição x >= 0, o que significa que estamos considerando apenas a metade direita desse círculo.

Passo 3

Agora, vamos converter para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, as relações são:
x = r cos theta y = r sin theta
E o elemento de área transforma-se em dx , dy = r , dr , dtheta.

Passo 4

Precisamos determinar os limites de integração em coordenadas polares. A equação do círculo em coordenadas polares fica:
x^2 + (y - 1)^2 = 1 (r cos theta)^2 + (r sin theta - 1)^2 = 1 r^2 cos^2 theta + r^2 sin^2 theta - 2 r sin theta + 1 = 1 r^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) - 2 r sin theta = 0 r^2 - 2 r sin theta = 0 r (r - 2 sin theta) = 0
Então, r varia de 0 a 2 sin theta.
Como x >= 0, temos que cos theta >= 0, o que implica que theta varia de -pi2 a pi2.

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral:
integral duplaB x y , dx , dy = integral-pi2^pi2 integral0^2 sin theta (r cos theta) (r sin theta) cdot r , dr , dtheta
Simplificando os termos:
= integral-pi2^pi2 integral0^2 sin theta r^3 cos theta sin theta , dr , dtheta

Passo 6

Vamos primeiro integrar em relação a r:
integral0^2 sin theta r^3 , dr = [ r^44 ]0^2 sin theta = (2 sin theta)^44 = 16 sin^4 theta4 = 4 sin^4 theta
Portanto, a integral fica:
integral-pi2^pi2 4 sin^4 theta cos theta sin theta , dtheta = 4 integral-pi2^pi2 sin^5 theta cos theta , dtheta

Passo 7

Agora, fazemos uma substituição simples. Vamos deixar u = sin theta, então du = cos theta , dtheta. Quando theta = -pi2, u = -1, e quando theta = pi2, u = 1. A integral se torna:
4 integral-1^1 u^5 , du = 4 [ u^66 ]-1^1 = 4 ( 16 - (-1)^66 ) = 4 ( 16 - 16 ) = 0

Resposta

O valor da integral dupla é 0.

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