Passe para coordenadas polares e calcule
onde
é o círculo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral dupla
, onde a região
é o círculo definido por
com
. A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente mudança de coordenadas cartesianas para polares para facilitar a resolução de integrais sobre regiões circulares. Vamos precisar entender como converter as variáveis e os limites de integração para coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. A inequação
pode ser reescrita completando o quadrado para o termo em
:
Isso descreve um círculo de raio
centrado no ponto
. Além disso, temos a condição
, o que significa que estamos considerando apenas a metade direita desse círculo.
Passo 3
Agora, vamos converter para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, as relações são:
E o elemento de área transforma-se em
.
Passo 4
Precisamos determinar os limites de integração em coordenadas polares. A equação do círculo em coordenadas polares fica:
Então,
varia de
a
.
Como
, temos que
, o que implica que
varia de
a
.
Passo 5
Agora, substituímos tudo na integral:
Simplificando os termos:
Passo 6
Vamos primeiro integrar em relação a
:
Portanto, a integral fica:
Passo 7
Agora, fazemos uma substituição simples. Vamos deixar
, então
. Quando
,
, e quando
,
. A integral se torna:
Resposta
O valor da integral dupla é
.