Calcule
usando a definição de integral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de
de 0 a 2 usando a definição de integral. Isso envolve entender como a integral definida é calculada usando somas de Riemann, que é basicamente somar áreas de retângulos infinitamente pequenos sob a curva de
. Vamos precisar dividir o intervalo [0, 2] em partes menores, calcular as áreas desses retângulos e depois somar tudo isso no limite quando o número de retângulos cresce para o infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir o intervalo [0, 2] em
subintervalos iguais. Cada subintervalo terá uma largura
dada por:
Passo 3
Agora, precisamos escolher um ponto em cada subintervalo para avaliar a função
. Vamos usar os pontos da direita, ou seja,
, onde
varia de 1 a
.
Passo 4
A soma de Riemann usando os pontos da direita fica:
Passo 5
Para encontrar a integral, precisamos calcular o limite dessa soma quando
tende ao infinito:
Passo 6
Sabemos que a soma dos cubos dos primeiros
números naturais é:
Substituindo isso na nossa soma:
Passo 7
Agora, calculamos o limite quando
tende ao infinito:
Resposta
A integral
é igual a 4.
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