Calcule usando a definição de integral.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de de 0 a 2 usando a definição de integral. Isso envolve entender como a integral definida é calculada usando somas de Riemann, que é basicamente somar áreas de retângulos infinitamente pequenos sob a curva de . Vamos precisar dividir o intervalo [0, 2] em partes menores, calcular as áreas desses retângulos e depois somar tudo isso no limite quando o número de retângulos cresce para o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o intervalo [0, 2] em subintervalos iguais. Cada subintervalo terá uma largura dada por:

Passo 3

Agora, precisamos escolher um ponto em cada subintervalo para avaliar a função . Vamos usar os pontos da direita, ou seja, , onde varia de 1 a .

Passo 4

A soma de Riemann usando os pontos da direita fica:

Passo 5

Para encontrar a integral, precisamos calcular o limite dessa soma quando tende ao infinito:

Passo 6

Sabemos que a soma dos cubos dos primeiros números naturais é:
Substituindo isso na nossa soma:

Passo 7

Agora, calculamos o limite quando tende ao infinito:

Resposta

A integral é igual a 4.

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