Calcule integral0^2 x^3 d x usando a definição de integral.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de de 0 a 2 usando a definição de integral. Isso envolve entender como a integral definida é calculada usando somas de Riemann, que é basicamente somar áreas de retângulos infinitamente pequenos sob a curva de . Vamos precisar dividir o intervalo [0, 2] em partes menores, calcular as áreas desses retângulos e depois somar tudo isso no limite quando o número de retângulos cresce para o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o intervalo [0, 2] em De subintervalos iguais. Cada subintervalo terá uma largura dada por:

Passo 3

Agora, precisamos escolher um ponto em cada subintervalo para avaliar a função xi = 0 + i ( 2n ) = 2in . Vamos usar os pontos da direita, ou seja, , onde varia de 1 a .

Passo 4

A soma de Riemann usando os pontos da direita fica:
Sn = sumi=1^n f(xi) De

Passo 5

Para encontrar a integral, precisamos calcular o limite dessa soma quando integral0^2 x^3 dx = limn to infty Sn = limn to infty sumi=1^n 16i^3n^4 tende ao infinito:

Passo 6

Sabemos que a soma dos cubos dos primeiros sumi=1^n i^3 = ( n(n+1)2 )^2 números naturais é:
Sn = 16n^4 ( n(n+1)2 )^2 = 16n^4 cdot n^2(n+1)^24 = 16n^2(n+1)^24n^4 = 4(n+1)^2n^2
Substituindo isso na nossa soma:

Passo 7

Agora, calculamos o limite quando limn to infty 4(n+1)^2n^2 = limn to infty 4 ( n^2 + 2n + 1n^2 ) = 4 ( 1 + 2n + 1n^2 ) = 4(1 + 0 + 0) = 4 tende ao infinito:

Resposta

A integral é igual a 4.

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