Mostre, usando o Princípio da Indução Finita que
sumi=1^n i^3=(n(n+1)2)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é provar que a soma dos cubos dos números de 1 até é igual a . Isso está relacionado ao Princípio da Indução Matemática, que é uma ferramenta poderosa para mostrar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais . Vamos precisar entender como aplicar esse princípio passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a afirmação é verdadeira para o primeiro caso, ou seja, quando sumi=1^1 i^3 = 1^3 = 1 . Isso é chamado de base da indução.
Calculando a soma dos cubos para (1(1+1)2)^2 = (22)^2 = 1^2 = 1 :
Agora, vamos verificar o lado direito da igualdade para :
Como ambos os lados são iguais a 1, a base da indução está confirmada.

Passo 3

Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum número inteiro positivo sumi=1^k i^3 = (k(k+1)2)^2 . Isso é chamado de hipótese de indução. Ou seja, vamos supor que:
Essa suposição nos ajuda a provar que a afirmação também vale para .

Passo 4

Nosso próximo passo é mostrar que, se a hipótese de indução é verdadeira para sumi=1^k+1 i^3 = sumi=1^k i^3 + (k+1)^3 , então ela também é verdadeira para = (k(k+1)2)^2 + (k+1)^3 **. Vamos calcular a soma dos cubos até = (k+1)^2 ( (k2)^2 + (k+1) ) :
= (k+1)^2 ( k^24 + k + 1 )
Usando a hipótese de indução:
= (k+1)^2 ( k^2 + 4k + 44 )
Vamos fatorar = (k+1)^2 ( (k+2)^24 ) de ambos os termos:
= ((k+1)(k+2)2)^2
Simplificando dentro do parêntese:
sumi=1^k+1 i^3 = ((k+1)((k+1)+1)2)^2
Isso é exatamente a forma da nossa afirmação para :

Resposta

Portanto, usando o Princípio da Indução Matemática, provamos que para todo número natural sumi=1^n i^3 = (n(n+1)2)^2 :

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