Mostre, usando o Princípio da Indução Finita que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é provar que a soma dos cubos dos números de 1 até é igual a . Isso está relacionado ao Princípio da Indução Matemática, que é uma ferramenta poderosa para mostrar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais . Vamos precisar entender como aplicar esse princípio passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a afirmação é verdadeira para o primeiro caso, ou seja, quando . Isso é chamado de base da indução.
Calculando a soma dos cubos para :
Agora, vamos verificar o lado direito da igualdade para :
Como ambos os lados são iguais a 1, a base da indução está confirmada.

Passo 3

Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum número inteiro positivo . Isso é chamado de hipótese de indução. Ou seja, vamos supor que:
Essa suposição nos ajuda a provar que a afirmação também vale para .

Passo 4

Nosso próximo passo é mostrar que, se a hipótese de indução é verdadeira para , então ela também é verdadeira para **. Vamos calcular a soma dos cubos até :
Usando a hipótese de indução:
Vamos fatorar de ambos os termos:
Simplificando dentro do parêntese:
Isso é exatamente a forma da nossa afirmação para :

Resposta

Portanto, usando o Princípio da Indução Matemática, provamos que para todo número natural :

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