Mostre, usando o Princípio da Indução Finita que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é provar que a soma dos cubos dos números de 1 até
é igual a
. Isso está relacionado ao Princípio da Indução Matemática, que é uma ferramenta poderosa para mostrar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais
. Vamos precisar entender como aplicar esse princípio passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a afirmação é verdadeira para o primeiro caso, ou seja, quando
. Isso é chamado de base da indução.
Calculando a soma dos cubos para
:
Agora, vamos verificar o lado direito da igualdade para
:
Como ambos os lados são iguais a 1, a base da indução está confirmada.
Passo 3
Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum número inteiro positivo
. Isso é chamado de hipótese de indução. Ou seja, vamos supor que:
Essa suposição nos ajuda a provar que a afirmação também vale para
.
Passo 4
Nosso próximo passo é mostrar que, se a hipótese de indução é verdadeira para
, então ela também é verdadeira para
**. Vamos calcular a soma dos cubos até
:
Usando a hipótese de indução:
Vamos fatorar
de ambos os termos:
Simplificando dentro do parêntese:
Isso é exatamente a forma da nossa afirmação para
:
Resposta
Portanto, usando o Princípio da Indução Matemática, provamos que para todo número natural
:
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