Calcule o limite.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. Esse exercício está dentro do conteúdo de limites em cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar entender como o arco-tangente (
) se comporta quando seu argumento tende ao infinito e como lidar com a expressão
quando
se aproxima de
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com a fração
quando
se aproxima de
. Substituindo diretamente, temos:
Aqui, estamos dividindo por zero, o que sugere que o valor tende a
ou
, dependendo da direção pela qual
se aproxima de zero.
Passo 3
Para entender melhor, consideremos que
se aproxima de 1 e
se aproxima de -1 de maneira que
se aproxima de 0 positivamente ou negativamente. Nesse caso, o produto
se aproxima de
, e a fração
tende a
ou
.
No entanto, como
tende a 0 de forma que
e
onde
tende a 0, a fração
tende a
.
Passo 4
Agora, vamos lembrar que a função
tem a propriedade de que:
Então, se
tende a
, então:
Passo 5
Como queremos o limite de
ao quadrado, precisamos elevar o resultado ao quadrado:
Resposta
O limite é
.
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usando a definição de integral.
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Mostre que o limite não existe.