Calcule o limite. lim (x, y) (1,-1) arctan (x yx+y)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse exercício está dentro do conteúdo de limites em cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar entender como o arco-tangente ( ) se comporta quando seu argumento tende ao infinito e como lidar com a expressão quando se aproxima de .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com a fração 1 times (-1)1 + (-1) = -10 quando se aproxima de . Substituindo diretamente, temos:
Aqui, estamos dividindo por zero, o que sugere que o valor tende a ou , dependendo da direção pela qual se aproxima de zero.

Passo 3

Para entender melhor, consideremos que se aproxima de 1 e se aproxima de -1 de maneira que se aproxima de 0 positivamente ou negativamente. Nesse caso, o produto se aproxima de , e a fração tende a ou .
No entanto, como tende a 0 de forma que e onde tende a 0, a fração tende a .

Passo 4

Agora, vamos lembrar que a função limz to -infty arctan(z) = -pi2 tem a propriedade de que:
arctan(xyx+y) to -pi2
Então, se tende a , então:

Passo 5

Como queremos o limite de (-pi2)^2 = pi^24 ao quadrado, precisamos elevar o resultado ao quadrado:

Resposta

O limite é .

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