Calcule integral0^x f(t) d t, onde f(x)= 1-x^3, & se x <= 0 ; 1+x^2, & se x>0

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral de de 0 até . A função é definida de forma diferente dependendo se é menor ou igual a 0 ou maior que 0. Isso envolve conceitos de integrais definidas e funções por partes. Vamos precisar separar a integral em casos para resolver direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o caso em que f(t) = 1 - t^3 . Aqui, todo o intervalo de integração de 0 até está com , então usamos a primeira parte da função:
Agora, integramos essa expressão em relação a .

Passo 3

A integral de integral (1 - t^3) , dt = t - t^44 + C é:
[ t - t^44 ]0^x = ( x - x^44 ) - ( 0 - 0^44 ) = x - x^44
Como estamos fazendo uma integral definida de 0 até , aplicamos os limites:

Passo 4

Agora, vamos para o caso em que f(t) = 1 + t^2 . Nesse intervalo, todo de 0 até é maior que 0, então usamos a segunda parte da função:
Vamos integrar essa expressão.

Passo 5

A integral de integral (1 + t^2) , dt = t + t^33 + C é:
[ t + t^33 ]0^x = ( x + x^33 ) - ( 0 + 0^33 ) = x + x^33
Aplicando os limites de 0 a :

Resposta

Portanto, a integral de integral0^x f(t) , dt = x - dfracx^44, & se x <= 0; x + dfracx^33, & se x > 0 de 0 até é:

Exercícios relacionados