Calcule
integral0^2 x^3 raiz2+3 x^4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício envolve cálculo integral, mais especificamente, integração por substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da expressão que podemos substituir para facilitar a integração. Observando a função dentro da raiz, u = 2 + 3x^4 , vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 12x^3 em relação a dx = du12x^3 para substituir na integral. Derivando :
O que significa que:

Passo 4

Vamos substituir integral0^2 x^3 raizu cdot du12x^3 = 112 integralu(0)^u(2) raizu , du e na integral original. Substituindo e , temos:

Passo 5

Agora, precisamos mudar os limites de integração de acordo com a substituição que fizemos. Quando u(0) = 2 + 3(0)^4 = 2 :
u(2) = 2 + 3(2)^4 = 2 + 3(16) = 2 + 48 = 50
E quando :
Então, os novos limites são de 2 a 50.

Passo 6

Agora, vamos integrar 112 integral2^50 u^1/2 , du em relação a 23 u^3/2 :
A antiderivada de é:

Passo 7

Aplicando os limites de integração:
112 [ 23 u^3/2 ]2^50 = 118 ( 50^3/2 - 2^3/2 )

Passo 8

Vamos calcular 50^3/2 = 50 cdot raiz50 = 50 cdot 5raiz2 = 250raiz2 e 2^3/2 = 2 cdot raiz2 = 2raiz2 :
118 (250raiz2 - 2raiz2) = 248raiz218 = 124raiz29
Substituindo de volta:

Resposta

O valor da integral é .

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