Calcule:
(a) integral0^1 1(x+1)^5 d x
(b) integral-1^0 t^2 raiz1+t^3 d t
© integral0^1 x(x+1)^5 d x
(d) integral-1^0 x^2 e^x^3 d x
(e) integral0^1 x raiz1+2 x^2 d x
(f) integral1^2 3 s1+s^2 d s.

Passo 1

Vamos calcular a integral . Esse exercício envolve cálculo de integrais definidas e uso de substituição para simplificar a expressão. Vamos precisar entender como aplicar a regra da potência para integrais e fazer uma substitição adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição integral1^2 1u^5 du . Assim, a derivada de em relação a é . Quando , e quando , . Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos integrar integral u^-5 du = u^-4-4 = -14 u^4 . A regra da potência para integrais diz que , onde . Aqui, , então:

Passo 4

Aplicamos os limites de integração de 1 a 2:
-14 (2)^4 + 14 (1)^4 = -14 times 16 + 14 = -164 + 14

Passo 5

Calculando os valores:
-164 + 1664 = 1564

Passo 6

Vamos resolver a integral . Esse exercício envolve substituição e reconhecimento de uma expressão derivada dentro da integral. Precisamos identificar uma função dentro da raiz que facilite a substituição.

Passo 7

Vamos fazer a substituição . Então, a derivada de em relação a é . Isso nos ajuda a simplificar a integral.

Passo 8

Rearranjando para t^2 dt = du3 , temos:
integral0^1 raizu cdot 13 du = 13 integral0^1 u^1/2 du
Os limites de integração mudam: quando , e quando , . Então, a integral fica:

Passo 9

Integrando 13 cdot u^3/232 = 29 u^3/2 :

Passo 10

Aplicando os limites de 0 a 1:
29 (1)^3/2 - 29 (0)^3/2 = 29 - 0 = 29

Passo 11

Vamos calcular a integral . Esse exercício envolve uma fração com um polinômio no denominador e requer substituição para facilitar a integração.

Passo 12

Fazemos a substituição integral1^2 u - 1u^5 du = integral1^2 ( 1u^4 - 1u^5 ) du , então . Quando , e quando , . Reescrevendo em termos de , temos . A integral fica:

Passo 13

Agora, integramos termo a termo:
integral 1u^4 du = u^-3-3 = -13 u^3
integral 1u^5 du = u^-4-4 = -14 u^4

Passo 14

Aplicando os limites de 1 a 2:
( -13 (2)^3 + 14 (2)^4 ) - ( -13 (1)^3 + 14 (1)^4 )
= ( -124 + 164 ) - ( -13 + 14 )

Passo 15

Calculando os valores:
-124 + 164 = -8192 + 3192 = -5192
-13 + 14 = -412 + 312 = -112
-5192 - ( -112 ) = -5192 + 16192 = 11192

Passo 16

Vamos resolver a integral . Este exercício envolve uma função exponencial composta e sugere o uso de substituição para simplificar a expressão.

Passo 17

Fazemos a substituição integral-1^0 e^u cdot 13 du = 13 integral-1^0 e^u du , então . Rearranjando, temos . Os limites de integração mudam: quando , e quando , . A integral fica:

Passo 18

Integrando 13 e^u :

Passo 19

Aplicando os limites de -1 a 0:
13 e^0 - 13 e^-1 = 13 - 13 e

Passo 20

Simplificando:
13 (1 - 1e) = e - 13e

Passo 21

Vamos calcular a integral . Esse exercício envolve uma expressão com raiz quadrada e um polinômio, sugerindo o uso de substituição para facilitar a integração.

Passo 22

Fazemos a substituição integral1^3 raizu4 du = 14 integral1^3 u^1/2 du , então . Rearranjando, temos . Quando , e quando , . A integral fica:

Passo 23

Integrando 14 cdot u^3/232 = 16 u^3/2 :

Passo 24

Aplicando os limites de 1 a 3:
16 (3)^3/2 - 16 (1)^3/2 = 16 (3raiz3) - 16 = raiz32 - 16

Passo 25

Simplificando:
3raiz3 - 16

Passo 26

Vamos resolver a integral . Esse exercício envolve uma fração com um polinômio no denominador, indicando o uso de substituição para facilitar a integração.

Passo 27

Fazemos a substituição 3 integral1^2 s1 + s^2 ds = 3 cdot 12 integral1 + (1)^2^1 + (2)^2 1u du = 32 integral2^5 1u du , então . Rearranjando, temos . A integral fica:

Passo 28

Integrando 32 ln|u| :

Passo 29

Aplicando os limites de 2 a 5:
32 ln(5) - 32 ln(2) = 32 ln(52)

Resposta

integral1^2 3 s1+s^2 ds = 32 ln(52)

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