Calcule:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Passo 1
Vamos calcular a integral
. Esse exercício envolve cálculo de integrais definidas e uso de substituição para simplificar a expressão. Vamos precisar entender como aplicar a regra da potência para integrais e fazer uma substitição adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição
. Assim, a derivada de
em relação a
é
. Quando
,
e quando
,
. Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos integrar
. A regra da potência para integrais diz que
, onde
. Aqui,
, então:
Passo 4
Aplicamos os limites de integração de 1 a 2:
Passo 5
Calculando os valores:
Passo 6
Vamos resolver a integral
. Esse exercício envolve substituição e reconhecimento de uma expressão derivada dentro da integral. Precisamos identificar uma função dentro da raiz que facilite a substituição.
Passo 7
Vamos fazer a substituição
. Então, a derivada de
em relação a
é
. Isso nos ajuda a simplificar a integral.
Passo 8
Rearranjando para
, temos:
Os limites de integração mudam: quando
,
e quando
,
. Então, a integral fica:
Passo 9
Integrando
:
Passo 10
Aplicando os limites de 0 a 1:
Passo 11
Vamos calcular a integral
. Esse exercício envolve uma fração com um polinômio no denominador e requer substituição para facilitar a integração.
Passo 12
Fazemos a substituição
, então
. Quando
,
e quando
,
. Reescrevendo
em termos de
, temos
. A integral fica:
Passo 13
Agora, integramos termo a termo:
Passo 14
Aplicando os limites de 1 a 2:
Passo 15
Calculando os valores:
Passo 16
Vamos resolver a integral
. Este exercício envolve uma função exponencial composta e sugere o uso de substituição para simplificar a expressão.
Passo 17
Fazemos a substituição
, então
. Rearranjando, temos
. Os limites de integração mudam: quando
,
e quando
,
. A integral fica:
Passo 18
Integrando
:
Passo 19
Aplicando os limites de -1 a 0:
Passo 20
Simplificando:
Passo 21
Vamos calcular a integral
. Esse exercício envolve uma expressão com raiz quadrada e um polinômio, sugerindo o uso de substituição para facilitar a integração.
Passo 22
Fazemos a substituição
, então
. Rearranjando, temos
. Quando
,
e quando
,
. A integral fica:
Passo 23
Integrando
:
Passo 24
Aplicando os limites de 1 a 3:
Passo 25
Simplificando:
Passo 26
Vamos resolver a integral
. Esse exercício envolve uma fração com um polinômio no denominador, indicando o uso de substituição para facilitar a integração.
Passo 27
Fazemos a substituição
, então
. Rearranjando, temos
. A integral fica:
Passo 28
Integrando
:
Passo 29
Aplicando os limites de 2 a 5:
Resposta
Exercícios relacionados
A função é descontínua na origem, pois
não existe. Determine se a descontinuidade é removível ou essencial. Se a descontinuidade for removível, redefina
de tal que forma que a nova função seja contínua em
.
c)
c)
Determine o domínio da função abaixo.
c)
c)
A função é descontínua na origem, pois
não existe. Determine se a descontinuidade é removível ou essencial. Se a descontinuidade for removível, redefina
de tal que forma que a nova função seja contínua em
.
d)
d)
Mostre que, para todo
, vale a expressão: