A função é descontínua na origem, pois f(0, 0) não existe. Determine se a descontinuidade é removível ou essencial. Se a descontinuidade for removível, redefina f(0, 0) de tal que forma que a nova função seja contínua em (0,0).
d) f(x, y) = (x^3 - 4xy^2) / (x^2 + y^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta a função e nos diz que ela é descontínua na origem porque não existe. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa descontinuidade é removível ou essencial. Se for removível, a gente também vai redefinir de forma que a função passe a ser contínua nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites de funções de várias variáveis e verificar se o limite de quando se aproxima de existe e é único.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma descontinuidade é removível se o limite da função quando se aproxima do ponto em questão existir e for igual a algum valor. Nesse caso, podemos simplesmente definir como esse valor para tornar a função contínua. Por outro lado, a descontinuidade é essencial se esse limite não existir ou não for único.

Passo 3

Vamos calcular o limite de quando se aproxima de . Para funções de duas variáveis, isso significa que o limite deve ser o mesmo independentemente do caminho pelo qual nos aproximamos do ponto .

Passo 4

Uma maneira comum de verificar isso é usando coordenadas polares. Vamos trocar as coordenadas cartesianas por polares , onde e . Isso simplifica a análise do limite quando tende a 0.

Passo 5

Vamos reescrever a função em coordenadas polares:
Simplificando o denominador:
Então, a função fica:

Passo 6

Agora, vamos analisar o limite quando :
Isso mostra que o limite da função quando se aproxima de é 0.

Passo 7

Como o limite existe e é igual a 0, podemos concluir que a descontinuidade é removível. Para tornar a função contínua na origem, basta definir:

Resposta

A descontinuidade é removível. Definindo , a função passa a ser contínua em .

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