A função é descontínua na origem, pois
não existe. Determine se a descontinuidade é removível ou essencial. Se a descontinuidade for removível, redefina
de tal que forma que a nova função seja contínua em
.
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta a função
e nos diz que ela é descontínua na origem
porque
não existe. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa descontinuidade é removível ou essencial. Se for removível, a gente também vai redefinir
de forma que a função passe a ser contínua nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites de funções de várias variáveis e verificar se o limite de
quando
se aproxima de
existe e é único.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma descontinuidade é removível se o limite da função quando
se aproxima do ponto em questão existir e for igual a algum valor. Nesse caso, podemos simplesmente definir
como esse valor para tornar a função contínua. Por outro lado, a descontinuidade é essencial se esse limite não existir ou não for único.
Passo 3
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
. Para funções de duas variáveis, isso significa que o limite deve ser o mesmo independentemente do caminho pelo qual nos aproximamos do ponto
.
Passo 4
Uma maneira comum de verificar isso é usando coordenadas polares. Vamos trocar as coordenadas cartesianas
por polares
, onde
e
. Isso simplifica a análise do limite quando
tende a 0.
Passo 5
Vamos reescrever a função em coordenadas polares:
Simplificando o denominador:
Então, a função fica:
Passo 6
Agora, vamos analisar o limite quando
:
Isso mostra que o limite da função
quando
se aproxima de
é 0.
Passo 7
Como o limite existe e é igual a 0, podemos concluir que a descontinuidade é removível. Para tornar a função contínua na origem, basta definir:
Resposta
A descontinuidade é removível. Definindo
, a função passa a ser contínua em
.
Exercícios relacionados
Calcule:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
A função é descontínua na origem, pois
não existe. Determine se a descontinuidade é removível ou essencial. Se a descontinuidade for removível, redefina
de tal que forma que a nova função seja contínua em
.
c)
c)
Mostre que, para todo
, vale a expressão:
Ache a derivada parcial indicada.
d)
d)