A função é descontínua na origem, pois f(0, 0) não existe. Determine se a descontinuidade é removível ou essencial. Se a descontinuidade for removível, redefina f(0, 0) de tal que forma que a nova função seja contínua em (0,0).
c) f(x, y) = (x + y) sen(x / (x^2 + y^2))

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. A função dada é . Ela é descontínua na origem porque não está definida. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa descontinuidade é removível ou essencial. Se for removível, vamos definir de uma maneira que a função fique contínua nesse ponto. Para isso, vamos precisar entender sobre limites de funções de duas variáveis e os conceitos de continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma descontinuidade ser removível ou essencial. Uma descontinuidade é removível se o limite da função quando se aproxima de existe e é finito. Nesse caso, podemos simplesmente definir como esse limite para tornar a função contínua. Se o limite não existir ou for infinito, a descontinuidade é essencial.

Passo 3

Então, precisamos calcular o limite de quando tende para :
Para simplificar, vamos usar coordenadas polares, onde e , com .
Substituindo na função:

Passo 4

Sabemos que oscila entre -1 e 1 para todo . Então, temos:
À medida que , . Portanto, pelo Teorema do Squeeze, o limite de quando é 0.

Resposta

A descontinuidade em é removível. Podemos redefinir para que a função seja contínua nesse ponto.

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