A função é descontínua na origem, pois
não existe. Determine se a descontinuidade é removível ou essencial. Se a descontinuidade for removível, redefina
de tal que forma que a nova função seja contínua em
.
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. A função dada é . Ela é descontínua na origem porque
não está definida. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa descontinuidade é removível ou essencial. Se for removível, vamos definir
de uma maneira que a função fique contínua nesse ponto. Para isso, vamos precisar entender sobre limites de funções de duas variáveis e os conceitos de continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma descontinuidade ser removível ou essencial. Uma descontinuidade é removível se o limite da função quando
se aproxima de
existe e é finito. Nesse caso, podemos simplesmente definir
como esse limite para tornar a função contínua. Se o limite não existir ou for infinito, a descontinuidade é essencial.
Passo 3
Então, precisamos calcular o limite de
quando
tende para
:
Para simplificar, vamos usar coordenadas polares, onde
e
, com
.
Substituindo na função:
Passo 4
Sabemos que oscila entre -1 e 1 para todo
. Então, temos:
À medida que
,
. Portanto, pelo Teorema do Squeeze, o limite de
quando
é 0.
Resposta
A descontinuidade em
é removível. Podemos redefinir
para que a função seja contínua nesse ponto.