Mostre que, para todo
, vale a expressão:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que mostrar que, para qualquer número
que não seja zero, a integral de
em relação a
é igual a
. Aqui, estamos lidando com integrais que envolvem funções racionais, especificamente com a função
, que é a função arco-tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a integral de uma função do tipo
está relacionada com a função arco-tangente. A fórmula básica é:
Mas vamos demonstrar isso passo a passo para entender melhor.
Passo 3
Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
Dessa forma, podemos expressar
em termos de
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
para substituir
:
Passo 5
Substituindo
e
na integral original:
Passo 6
Fatorando
no denominador:
Passo 7
Sabemos que a integral de
em relação a
é a função arco-tangente:
Passo 8
Voltando à variável original
, lembramos que
:
Resposta
Portanto, mostramos que:
Exercícios relacionados
A função é descontínua na origem, pois
não existe. Determine se a descontinuidade é removível ou essencial. Se a descontinuidade for removível, redefina
de tal que forma que a nova função seja contínua em
.
d)
d)
Calcule:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Ache a derivada parcial indicada.
d)
d)
Calcule as seguintes integrais indefinidas:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(a)
(b)
©
(d)
(e)