Mostre que, para todo a neq 0, vale a expressão:
integral d xa^2+x^2=1a arctg(xa)+C, sendo C in R

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que mostrar que, para qualquer número que não seja zero, a integral de em relação a é igual a . Aqui, estamos lidando com integrais que envolvem funções racionais, especificamente com a função , que é a função arco-tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral de uma função do tipo integral dxa^2 + x^2 = 1a arctan(xa) + C está relacionada com a função arco-tangente. A fórmula básica é:
Mas vamos demonstrar isso passo a passo para entender melhor.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = xa
Dessa forma, podemos expressar x = a u em termos de :

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de dx = a , du em relação a para substituir :

Passo 5

Substituindo integral dxa^2 + x^2 = integral a , dua^2 + (a u)^2 = integral a , dua^2 + a^2 u^2 e na integral original:

Passo 6

Fatorando integral a , dua^2(1 + u^2) = integral aa^2 cdot du1 + u^2 = 1a integral du1 + u^2 no denominador:

Passo 7

Sabemos que a integral de 1a integral du1 + u^2 = 1a arctan(u) + C em relação a é a função arco-tangente:

Passo 8

Voltando à variável original 1a arctan(xa) + C , lembramos que :

Resposta

Portanto, mostramos que:
integral dxa^2+x^2 = 1a arctan(xa) + C

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