Mostre que, para todo a neq 0, vale a expressão:
integral d xa^2+x^2=1a arctg(xa)+C, sendo C in R

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que mostrar que, para qualquer número que não seja zero, a integral de em relação a é igual a . Aqui, estamos lidando com integrais que envolvem funções racionais, especificamente com a função , que é a função arco-tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral de uma função do tipo integral dxa^2 + x^2 = 1a arctan(xa) + C está relacionada com a função arco-tangente. A fórmula básica é:
Mas vamos demonstrar isso passo a passo para entender melhor.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = xa
Dessa forma, podemos expressar x = a u em termos de :

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de dx = a , du em relação a para substituir :

Passo 5

Substituindo integral dxa^2 + x^2 = integral a , dua^2 + (a u)^2 = integral a , dua^2 + a^2 u^2 e na integral original:

Passo 6

Fatorando integral a , dua^2(1 + u^2) = integral aa^2 cdot du1 + u^2 = 1a integral du1 + u^2 no denominador:

Passo 7

Sabemos que a integral de 1a integral du1 + u^2 = 1a arctan(u) + C em relação a é a função arco-tangente:

Passo 8

Voltando à variável original 1a arctan(xa) + C , lembramos que :

Resposta

Portanto, mostramos que:
integral dxa^2+x^2 = 1a arctan(xa) + C

Exercícios relacionados

A função é descontínua na origem, pois f(0, 0) não existe. Determine se a descontinuidade é removível ou essencial. Se a descontinuidade for removível, redefina f(0, 0) de tal que forma que a nova função seja contínua em (0,0).
d) f(x, y) = (x^3 - 4xy^2) / (x^2 + y^2)
Calcule:
(a) integral0^1 1(x+1)^5 d x
(b) integral-1^0 t^2 raiz1+t^3 d t
© integral0^1 x(x+1)^5 d x
(d) integral-1^0 x^2 e^x^3 d x
(e) integral0^1 x raiz1+2 x^2 d x
(f) integral1^2 3 s1+s^2 d s.
Ache a derivada parcial indicada.
d) f(r, θ) = r^2 cos(θ) - 2 r tg(θ), fθ(r, θ)
Calcule as seguintes integrais indefinidas:
(a) integral x e^x d x
(b) integral x sen x d x
© integral x^2 e^x d x
(d) integral x ln x d x
(e) integral x^2 ln x d x