Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral dupla
. Aqui estamos lidando com integração dupla, que é usada para calcular áreas ou volumes em duas dimensões. Para resolver isso, vamos precisar entender como trocar a ordem de integração, o que pode simplificar bastante a conta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. A integração interna é em relação a
, que vai de
até
, e a externa é em relação a
, de
a
. Isso significa que para cada
entre
e
,
varia de
até
.
Passo 3
Agora, vamos trocar a ordem das integrais. Para isso, precisamos redesenhar os limites de integração. Se
varia de
até
, podemos resolver para
em termos de
:
. Assim, para um dado
,
varia de
até
. Portanto, a integral fica:
Passo 4
Observe que na integral interna, a expressão
não depende de
, então podemos integrar fácil:
Passo 5
Agora, nossa integral dupla simplificada é:
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição simples. Seja
, então
, ou seja,
.
Passo 6
Substituindo na integral, temos:
A integral de
é simplesmente
.
Passo 7
Calculando a integral definida:
Resposta
A integral dupla vale
.
Exercícios relacionados
Verifique o tipo das equações diferenciais ordinárias apresentadas na coluna 1 , relacionando-as com sua classificação na coluna 2 e justificando cada resposta com argumentos matemáticos. Não é necessário determinar a solução da EDO. A classificação sem a devida justificativa não será considerada.
Equação Diferencial Ordinária
( e )
Classificação
( ) Separável
( ) Homogênea
( ) Exata
( ) Linear
( ) Bernoulli
( ) Homogênea
( ) Exata
( ) Linear
( ) Bernoulli