Calcule as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral dupla . Aqui estamos lidando com integração dupla, que é usada para calcular áreas ou volumes em duas dimensões. Para resolver isso, vamos precisar entender como trocar a ordem de integração, o que pode simplificar bastante a conta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. A integração interna é em relação a , que vai de até , e a externa é em relação a , de a . Isso significa que para cada entre e , varia de até .

Passo 3

Agora, vamos trocar a ordem das integrais. Para isso, precisamos redesenhar os limites de integração. Se varia de até , podemos resolver para em termos de : . Assim, para um dado , varia de até . Portanto, a integral fica:

Passo 4

Observe que na integral interna, a expressão não depende de , então podemos integrar fácil:

Passo 5

Agora, nossa integral dupla simplificada é:
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição simples. Seja , então , ou seja, .

Passo 6

Substituindo na integral, temos:
A integral de é simplesmente .

Passo 7

Calculando a integral definida:

Resposta

A integral dupla vale .

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Calcule as seguintes integrais:
Calcule as seguintes integrais:
Verifique o tipo das equações diferenciais ordinárias apresentadas na coluna 1 , relacionando-as com sua classificação na coluna 2 e justificando cada resposta com argumentos matemáticos. Não é necessário determinar a solução da EDO. A classificação sem a devida justificativa não será considerada.

Equação Diferencial Ordinária

( e )

Classificação

( ) Separável
( ) Homogênea
( ) Exata
( ) Linear
( ) Bernoulli