(1,5) Calcule as seguintes integrais: integral0^1 integral3 x^3 e^y^2 d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral dupla integral0^1 integral3x^3 e^y^2 , dy , dx. Aqui estamos lidando com integração dupla, que é usada para calcular áreas ou volumes em duas dimensões. Para resolver isso, vamos precisar entender como trocar a ordem de integração, o que pode simplificar bastante a conta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. A integração interna é em relação a y, que vai de 3x até 3, e a externa é em relação a x, de 0 a 1. Isso significa que para cada x entre 0 e 1, y varia de 3x até 3.

Passo 3

Agora, vamos trocar a ordem das integrais. Para isso, precisamos redesenhar os limites de integração. Se y varia de 3x até 3, podemos resolver para x em termos de y: x = y3. Assim, para um dado y, x varia de 0 até y3. Portanto, a integral fica:
integral0^3 integral0^y3 e^y^2 , dx , dy

Passo 4

Observe que na integral interna, a expressão e^y^2 não depende de x, então podemos integrar fácil:
integral0^y3 e^y^2 , dx = e^y^2 cdot ( y3 - 0 ) = y3 e^y^2

Passo 5

Agora, nossa integral dupla simplificada é:
13 integral0^3 y e^y^2 , dy
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição simples. Seja u = y^2, então du = 2y , dy, ou seja, y , dy = du2.

Passo 6

Substituindo na integral, temos:
13 integralu=0^u=9 e^u2 , du = 16 integral0^9 e^u , du
A integral de e^u é simplesmente e^u.

Passo 7

Calculando a integral definida:
16 [ e^u ]0^9 = 16 ( e^9 - e^0 ) = 16 (e^9 - 1)

Resposta

A integral dupla vale e^9 - 16.

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