Verifique o tipo das equações diferenciais ordinárias apresentadas na coluna 1 , relacionando-as com sua classificação na coluna 2 e justificando cada resposta com argumentos matemáticos. Não é necessário determinar a solução da EDO. A classificação sem a devida justificativa não será considerada.
Equação Diferencial Ordinária
( e )
Classificação
( ) Separável
( ) Homogênea
( ) Exata
( ) Linear
( ) Bernoulli
( ) Homogênea
( ) Exata
( ) Linear
( ) Bernoulli
Passo 1
Entendendo o Enunciado e o Conteúdo
Vamos analisar a equação diferencial ordinária (EDO) apresentada:
Nosso objetivo é classificar essa EDO entre as seguintes categorias: Separável, Homogênea, Exata, Linear e Bernoulli. Para isso, precisaremos entender cada tipo de EDO e verificar qual delas se encaixa melhor com a equação dada.
Passo 2
Rearranjando a Equação para Facilitar a Análise
Primeiro, vamos tentar rearranjar a equação para uma forma mais familiar. Podemos dividir todos os termos por
para isolar
:
Agora, a equação está na forma:
Onde:
Passo 3
Analisando a Possibilidade de Ser uma Equação Linear
Uma EDO é classificada como linear se pode ser expressa na forma:
Comparando com nossa equação:
Percebemos que há um termo
no lado direito, o que não se encaixa na forma linear, já que a equação linear não deve ter potências de
além da primeira. Portanto, a equação não é linear.
Passo 4
Verificando se a Equação é Bernoulli
Uma EDO é do tipo Bernoulli se pode ser escrita como:
Nossa equação está exatamente nessa forma:
Aqui,
, que é diferente de 0 e 1. Portanto, a equação é uma EDO de Bernoulli.
Passo 5
Investigando se a Equação é Separável
Uma EDO é separável se pode ser escrita como:
Vamos tentar separar os termos:
Multiplicando ambos os lados por
:
Apesar de termos conseguido separar parcialmente, a presença de
impede a completa separação das variáveis. Logo, a equação não é separável.
Passo 6
Verificando se a Equação é Homogênea
Uma EDO é homogênea se todas as funções envolvidos forem homogêneas do mesmo grau. Vamos verificar os graus dos termos:
-
não possui grau definido. -
: grau -
: grau
Como todos os termos têm o mesmo grau, a equação é homogênea.
Passo 7
Analisando se a Equação é Exata
Uma EDO é exata se pode ser expressa na forma:
E satisfaz a condição:
Vamos reescrever nossa equação:
Ou seja:
Aqui:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a condição não é satisfeita. Portanto, a equação não é exata.
Resposta
A EDO apresentada é do tipo Bernoulli e Homogênea.
Exercícios relacionados
Calcule
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )