Seja w: R -> C uma função dada por w(t) = u(t) + i v(t). Suponha que u e v sejam funções diferenciáveis. Mostre que
a) d/dt w(-t) = -w'(t);

Passo 1

Então, a gente tem uma função que mapeia números reais para números complexos, ou seja, . As funções e são diferenciáveis. O objetivo aqui é provar que a derivada de em relação a é igual a . Vamos precisar usar o conceito de derivada de funções compostas e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa derivar . A função é uma composição da função com a função . Para derivar uma função composta, usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que a derivada de é .

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia à nossa função , temos:
Aqui, , então .

Passo 4

Substituindo na expressão, fica:
Agora, queremos relacionar isso a .

Passo 5

Observando que , percebemos que a função derivada também é diferenciável. Além disso, como a derivada é uma função, substituindo por temos .

Passo 6

Voltando à expressão que obtivemos:
Mas para mostrar que isso é igual a , precisamos considerar a avaliação da derivada em .

Passo 7

Como a variável é uma dummy, podemos renomear para na expressão acima, resultando em:
Portanto, mostramos que a derivada de é igual a .

Resposta

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