Seja
uma função dada por
. Suponha que
e
sejam funções diferenciáveis. Mostre que
a)
;
a)
Passo 1
Então, a gente tem uma função
que mapeia números reais para números complexos, ou seja,
. As funções
e
são diferenciáveis. O objetivo aqui é provar que a derivada de
em relação a
é igual a
. Vamos precisar usar o conceito de derivada de funções compostas e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa derivar
. A função
é uma composição da função
com a função
. Para derivar uma função composta, usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que a derivada de
é
.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia à nossa função
, temos:
Aqui,
, então
.
Passo 4
Substituindo
na expressão, fica:
Agora, queremos relacionar isso a
.
Passo 5
Observando que
, percebemos que a função derivada
também é diferenciável. Além disso, como a derivada é uma função, substituindo
por
temos
.
Passo 6
Voltando à expressão que obtivemos:
Mas para mostrar que isso é igual a
, precisamos considerar a avaliação da derivada em
.
Passo 7
Como a variável é uma dummy, podemos renomear
para
na expressão acima, resultando em:
Portanto, mostramos que a derivada de
é igual a
.
Resposta
Exercícios relacionados
Para os exercícios 7-YY, dada uma função
e um contorno
, use parametrizações de
, ou pedaços de
, para calcular
-
e é o arco de a consistindo do
a) semicírculo;
Por que a velocidade da esfera metálica é constante ao longo de sua trajetória? Explique.
Seja
uma função dada por
. Suponha que
e
sejam funções diferenciáveis. Mostre que
b) .
b)
Calcule:
a) ;
a)