Considere a hélice circular
. Encontre o valor de
tal que cada volta completa avança 3 unidades em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma hélice circular, que é basicamente uma curva tridimensional que dá voltas enquanto sobe ou desce ao longo do eixo z. A equação da hélice é dada por
. Nosso objetivo é encontrar o valor de
que faz com que, a cada volta completa (quando
varia de
a
), a hélice avance 3 unidades no eixo z.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma volta completa na hélice. Na equação,
é o parâmetro que representa o ângulo, e uma volta completa acontece quando
aumenta
radianos. Isso significa que, para cada aumento de
em
, a hélice dá uma volta ao redor do eixo z.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a parte da fórmula que lida com o eixo z, que é
. Quando
aumenta
, a altura no eixo z muda de
para
. A diferença de altura, ou seja, o quanto a hélice sobe a cada volta, será:
Queremos que essa diferença seja igual a 3 unidades. Então, temos a equação:
Passo 4
Agora, é só resolver a equação para encontrar o valor de
:
Resposta
O valor de
que satisfaz as condições do exercício é:
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Utilizando apenas as propriedades de limite, que
e que
, calcule
.
Determine se cada integral imprópria abaixo é convergente ou divergente.
Calcule:
Considere
Determine