Considere a hélice circular r(t) = (a cos t) i + (a sen t) j + c t k, com c > 0. Encontre o valor de c tal que cada volta completa avança 3 unidades em z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma hélice circular, que é basicamente uma curva tridimensional que dá voltas enquanto sobe ou desce ao longo do eixo z. A equação da hélice é dada por . Nosso objetivo é encontrar o valor de c que faz com que, a cada volta completa (quando t varia de 0 a ), a hélice avance 3 unidades no eixo z.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma volta completa na hélice. Na equação, t é o parâmetro que representa o ângulo, e uma volta completa acontece quando t aumenta radianos. Isso significa que, para cada aumento de em t, a hélice dá uma volta ao redor do eixo z.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a parte da fórmula que lida com o eixo z, que é . Quando t aumenta , a altura no eixo z muda de para . A diferença de altura, ou seja, o quanto a hélice sobe a cada volta, será:
Queremos que essa diferença seja igual a 3 unidades. Então, temos a equação:

Passo 4

Agora, é só resolver a equação para encontrar o valor de c:

Resposta

O valor de c que satisfaz as condições do exercício é:

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