Considere a hélice circular . Encontre o valor de tal que cada volta completa avança 3 unidades em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma hélice circular, que é basicamente uma curva tridimensional que dá voltas enquanto sobe ou desce ao longo do eixo z. A equação da hélice é dada por . Nosso objetivo é encontrar o valor de que faz com que, a cada volta completa (quando varia de a ), a hélice avance 3 unidades no eixo z.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma volta completa na hélice. Na equação, é o parâmetro que representa o ângulo, e uma volta completa acontece quando aumenta radianos. Isso significa que, para cada aumento de em , a hélice dá uma volta ao redor do eixo z.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a parte da fórmula que lida com o eixo z, que é . Quando aumenta , a altura no eixo z muda de para . A diferença de altura, ou seja, o quanto a hélice sobe a cada volta, será:
Queremos que essa diferença seja igual a 3 unidades. Então, temos a equação:

Passo 4

Agora, é só resolver a equação para encontrar o valor de :

Resposta

O valor de que satisfaz as condições do exercício é:

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Utilizando apenas as propriedades de limite, que e que , calcule .
Determine se cada integral imprópria abaixo é convergente ou divergente.
Calcule:
Considere
Determine