Calcule: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão:
Esse problema está na área de cálculo, especificamente envolvendo integrais e limites. Vamos precisar usar conhecimentos sobre **expansão em série de Taylor** para simplificar a função dentro da integral e depois calcular o limite.
Passo 2
Primeiro, vamos observar o que acontece com os limites de integração quando tende a 0. O limite superior da integral é . Quando se aproxima de 0:
Então, estamos basicamente integrando de 0 até um valor que se aproxima de 0.
Passo 3
Agora, vamos simplificar a função para valores de próximos a 0 usando a **série de Taylor** do cosseno. Sabemos que:
Elevando ao poder 8 e considerando apenas os termos de menor ordem (já que é muito pequeno):
Passo 4
Vamos agora substituir essa aproximação na integral:
Calculando a integral termo a termo:
Então, a integral aproximada fica:
Passo 5
Agora, vamos dividir essa expressão pelo denominador :
Simplificando os termos:
O segundo termo contém , que para próximo de 0 é negligenciável, então fica:
Passo 6
Finalmente, vamos calcular o limite quando tende a 0:
Resposta
Exercícios relacionados
Considere as funções e , em que é um número real positivo.
(a) Determine, em função de , os dois valores de para os quais .
Calcule:
Considere as funções e , em que é um número real positivo.
(d) Determine o valor mínimo da área da região delimitada por e .
Calcule usando a Definição de Integral.