Calcule:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite quando
se aproxima de 0 da expressão:
Esse problema está na área de cálculo, especificamente envolvendo integrais e limites. Vamos precisar usar conhecimentos sobre expansão em série de Taylor para simplificar a função dentro da integral e depois calcular o limite.
Passo 2
Primeiro, vamos observar o que acontece com os limites de integração quando
tende a 0. O limite superior da integral é
. Quando
se aproxima de 0:
Então, estamos basicamente integrando de 0 até um valor que se aproxima de 0.
Passo 3
Agora, vamos simplificar a função
para valores de
próximos a 0 usando a série de Taylor do cosseno. Sabemos que:
Elevando ao poder 8 e considerando apenas os termos de menor ordem (já que
é muito pequeno):
Passo 4
Vamos agora substituir essa aproximação na integral:
Calculando a integral termo a termo:
Então, a integral aproximada fica:
Passo 5
Agora, vamos dividir essa expressão pelo denominador
:
Simplificando os termos:
O segundo termo contém
, que para
próximo de 0 é negligenciável, então fica:
Passo 6
Finalmente, vamos calcular o limite quando
tende a 0: