Calcule: lim x 0 integral0^pi x^2-x cos ^8 t d tpi x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite quando limx 0 integral0^pi x^2-x cos^8 t , dtpi x se aproxima de 0 da expressão:
Esse problema está na área de cálculo, especificamente envolvendo integrais e limites. Vamos precisar usar conhecimentos sobre expansão em série de Taylor para simplificar a função dentro da integral e depois calcular o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o que acontece com os limites de integração quando pi x^2 - x approx -x (pois pi x^2 é muito menor que x para x perto de 0) tende a 0. O limite superior da integral é . Quando se aproxima de 0:
é
Então, estamos basicamente integrando de 0 até um valor que se aproxima de 0.

Passo 3

Agora, vamos simplificar a função cos t approx 1 - t^22 + t^424 - dots para valores de cos^8 t approx 1 - 4t^2 próximos a 0 usando a série de Taylor do cosseno. Sabemos que:
Elevando ao poder 8 e considerando apenas os termos de menor ordem (já que é muito pequeno):

Passo 4

Vamos agora substituir essa aproximação na integral:
integral0^pi x^2-x cos^8 t , dt approx integral0^pi x^2-x (1 - 4t^2) dt
Calculando a integral termo a termo:
integral0^pi x^2-x 1 , dt = pi x^2 - x
integral0^pi x^2-x 4t^2 , dt = 4 cdot (pi x^2-x)^33 = 43 (pi x^2-x)^3
Então, a integral aproximada fica:
integral0^pi x^2-x cos^8 t , dt approx (pi x^2 - x) - 43 (pi x^2-x)^3

Passo 5

Agora, vamos dividir essa expressão pelo denominador (pi x^2 - x) - 43 (pi x^2-x)^3pi x = pi x^2 - xpi x - 4 (pi x^2-x)^33 pi x :
pi x^2pi x - xpi x = x - 1pi
Simplificando os termos:
approx x - 1pi
O segundo termo contém , que para próximo de 0 é negligenciável, então fica:

Passo 6

Finalmente, vamos calcular o limite quando limx 0 ( x - 1pi ) = -1pi tende a 0:

Resposta

-,dfrac1pi

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