Calcule: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão: Esse problema está na área de cálculo, especificamente envolvendo integrais e limites. Vamos precisar usar conhecimentos sobre **expansão em série de Taylor** para simplificar a função dentro da integral e depois calcular o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o que acontece com os limites de integração quando tende a 0. O limite superior da integral é . Quando se aproxima de 0: é Então, estamos basicamente integrando de 0 até um valor que se aproxima de 0.

Passo 3

Agora, vamos simplificar a função para valores de próximos a 0 usando a **série de Taylor** do cosseno. Sabemos que: Elevando ao poder 8 e considerando apenas os termos de menor ordem (já que é muito pequeno):

Passo 4

Vamos agora substituir essa aproximação na integral: Calculando a integral termo a termo: Então, a integral aproximada fica:

Passo 5

Agora, vamos dividir essa expressão pelo denominador : Simplificando os termos: O segundo termo contém , que para próximo de 0 é negligenciável, então fica:

Passo 6

Finalmente, vamos calcular o limite quando tende a 0:

Resposta

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