Use os resultados de (a) para calcular . (DICA: verifique que o denominador corresponde à forma fatorada .)
O polinômio resultante é da forma , ou seja, é um polinômio simétrico e, portanto, há uma forma de fatoração específica que o decompõe em dois polinômios de grau dois.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular . Estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais que envolvem funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar fatorar o denominador e usar substituições apropriadas. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador . Lembrando que , podemos reescrever o denominador:
Passo 3
Agora, temos a integral:
Para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição. Vamos definir . Então, a derivada de em relação a é .
Passo 4
Substituindo e , a integral fica:
Simplificando o denominador:
Podemos reescrever a integral como:
Passo 5
Agora, precisamos fatorar o polinômio no denominador . Vamos usar a dica do enunciado que nos diz que o denominador pode ser fatorado na forma:
Com essa fatoração, nossa integral fica:
Passo 6
Para integrar essa expressão, usamos frações parciais. Ou seja, escrevemos:
Nosso objetivo é encontrar os valores de e .
Passo 7
Multiplicando ambos os lados pela expressão fatorada, temos:
Expandindo e igualando os coeficientes, resolvemos o sistema de equações para encontrar e . Após resolver, encontramos que:
Passo 8
Substituindo esses valores na expressão das frações parciais, temos:
Passo 9
Agora, nossa integral se divide em duas integrais mais simples:
Vamos integrar cada parte separadamente.
Passo 10
Para cada uma das integrais, completamos o quadrado nos denominadores e usamos a fórmula de integração de funções racionais. Após realizar os cálculos, obtemos:
- [ -12 raiz5 ln|t^2 + (1 + raiz5) t + 1| - 12 arctan( 2 t + (1 + raiz5)raiz5 ) ] + C
Passo 11
Substituímos - [ 12 raiz5 ln|sin^2 x + (1 - raiz5) sin x + 1| - 12 arctan( 2 sin x + (1 - raiz5)raiz5 ) ] + para voltar à variável original:
- [ -12 raiz5 ln|sin^2 x + (1 + raiz5) sin x + 1| - 12 arctan( 2 sin x + (1 + raiz5)raiz5 ) ] + C
Simplificando, temos:
Resposta
A integral é igual a
- 12 raiz5 ln|sin^2 x + (1 - raiz5) sin x + 1| + 12 raiz5 ln|sin^2 x + (1 + raiz5) sin x + 1| - 12 arctan( 2 sin x + (1 - raiz5)raiz5 ) + 12 arctan( 2 sin x + (1 + raiz5)raiz5 ) + C