Use os resultados de (a) para calcular integral 1cos x+tg x d x. (DICA: verifique que o denominador corresponde à forma fatorada [t^2+(1-raiz5) t+1][t^2+(1+raiz5) t+1]^*.)
  • O polinômio resultante é da forma a t^4+b t^3+c t^2+b t+a, ou seja, é um polinômio simétrico e, portanto, há uma forma de fatoração específica que o decompõe em dois polinômios de grau dois.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular . Estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais que envolvem funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar fatorar o denominador e usar substituições apropriadas. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador cos x + tan x = cos x + sin xcos x = cos^2 x + sin xcos x . Lembrando que , podemos reescrever o denominador:

Passo 3

Agora, temos a integral:
integral 1cos^2 x + sin xcos x , dx = integral cos xcos^2 x + sin x , dx
Para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição. Vamos definir . Então, a derivada de em relação a é .

Passo 4

Substituindo integral dt1 - t^2 + t e 1 - t^2 + t = -t^2 + t + 1 = -(t^2 - t - 1) , a integral fica:
- integral dtt^2 - t - 1
Simplificando o denominador:
Podemos reescrever a integral como:

Passo 5

Agora, precisamos fatorar o polinômio no denominador (t^2 + (1 - raiz5) t + 1)(t^2 + (1 + raiz5) t + 1) . Vamos usar a dica do enunciado que nos diz que o denominador pode ser fatorado na forma:
- integral dt(t^2 + (1 - raiz5) t + 1)(t^2 + (1 + raiz5) t + 1)
Com essa fatoração, nossa integral fica:

Passo 6

Para integrar essa expressão, usamos frações parciais. Ou seja, escrevemos:
1(t^2 + (1 - raiz5) t + 1)(t^2 + (1 + raiz5) t + 1) = A t + Bt^2 + (1 - raiz5) t + 1 + C t + Dt^2 + (1 + raiz5) t + 1
Nosso objetivo é encontrar os valores de e .

Passo 7

Multiplicando ambos os lados pela expressão fatorada, temos:
1 = (A t + B)(t^2 + (1 + raiz5) t + 1) + (C t + D)(t^2 + (1 - raiz5) t + 1)
Expandindo e igualando os coeficientes, resolvemos o sistema de equações para encontrar A = 12 raiz5, B = raiz52, C = -12 raiz5, D = raiz52 e . Após resolver, encontramos que:

Passo 8

Substituindo esses valores na expressão das frações parciais, temos:
1(t^2 + (1 - raiz5) t + 1)(t^2 + (1 + raiz5) t + 1) = 12 raiz5 t + raiz52t^2 + (1 - raiz5) t + 1 + -12 raiz5 t + raiz52t^2 + (1 + raiz5) t + 1

Passo 9

Agora, nossa integral se divide em duas integrais mais simples:
- integral ( 12 raiz5 t + raiz52t^2 + (1 - raiz5) t + 1 + -12 raiz5 t + raiz52t^2 + (1 + raiz5) t + 1 ) dt
Vamos integrar cada parte separadamente.

Passo 10

Para cada uma das integrais, completamos o quadrado nos denominadores e usamos a fórmula de integração de funções racionais. Após realizar os cálculos, obtemos:
- [ 12 raiz5 ln|t^2 + (1 - raiz5) t + 1| - 12 arctan( 2 t + (1 - raiz5)raiz5 ) ] +
- [ -12 raiz5 ln|t^2 + (1 + raiz5) t + 1| - 12 arctan( 2 t + (1 + raiz5)raiz5 ) ] + C

Passo 11

Substituímos - [ 12 raiz5 ln|sin^2 x + (1 - raiz5) sin x + 1| - 12 arctan( 2 sin x + (1 - raiz5)raiz5 ) ] + para voltar à variável original:
- [ -12 raiz5 ln|sin^2 x + (1 + raiz5) sin x + 1| - 12 arctan( 2 sin x + (1 + raiz5)raiz5 ) ] + C
Simplificando, temos:

Resposta

A integral é igual a
- 12 raiz5 ln|sin^2 x + (1 - raiz5) sin x + 1| + 12 raiz5 ln|sin^2 x + (1 + raiz5) sin x + 1| - 12 arctan( 2 sin x + (1 - raiz5)raiz5 ) + 12 arctan( 2 sin x + (1 + raiz5)raiz5 ) + C
Onde é a constante de integração.

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