Calcule a seguinte integral definida dados 0 :
integrala^b 1(a^2 x^2+b^2)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida de de até , onde . Estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais racionais que envolvem polinômios ao quadrado. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a expressão dentro da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = a xb
Isso significa que:
x = b ua
E diferenciando ambos os lados em relação a dx = ba du :

Passo 3

Agora, vamos substituir integrala^b 1(a^2 x^2+b^2)^2 dx = integralu(a)^u(b) 1(a^2 (b ua)^2 + b^2)^2 cdot ba du e a^2 (b ua)^2 + b^2 = b^2 u^2 + b^2 = b^2(u^2 + 1) na integral original:
integralu(a)^u(b) 1(b^2(u^2 + 1))^2 cdot ba du = 1a b^3 integralu(a)^u(b) 1(u^2 + 1)^2 du
Simplificando a expressão dentro do denominador:
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora precisamos calcular a integral:
integral 1(u^2 + 1)^2 du
Essa integral é padrão e a solução é conhecida:
integral 1(u^2 + 1)^2 du = u2(u^2 + 1) + 12 arctan(u) + C
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Aplicando os limites de integração, temos que 1a b^3 [ ( u2(u^2 + 1) + 12 arctan(u) ) g|a^2b^a ] e . Então, substituindo na expressão da integral:

Passo 6

Vamos calcular cada parte separadamente.
Para a2(a^2 + 1) + 12 arctan(a) :
a^2b2( (a^2b)^2 + 1 ) + 12 arctan(a^2b)
Para :

Passo 7

Subtraindo as duas expressões:
( a2(a^2 + 1) + 12 arctan(a) ) - ( a^2b2( a^4b^2 + 1 ) + 12 arctan(a^2b) )
Simplificando:
12 ( aa^2 + 1 - a^2ba^4 + b^2b^2 + arctan(a) - arctan(a^2b) )
= 12 ( aa^2 + 1 - a^2 ba^4 + b^2 + arctan(a) - arctan(a^2b) )

Passo 8

Multiplicando tudo por 1a b^3 cdot 12 ( aa^2 + 1 - a^2 ba^4 + b^2 + arctan(a) - arctan(a^2b) ) , temos:
= 12 a b^3 ( aa^2 + 1 - a^2 ba^4 + b^2 + arctan(a) - arctan(a^2b) )
Simplificando ainda mais:

Passo 9

Finalmente, juntando tudo, a integral definida é:
12 a b^3 ( aa^2 + 1 - a^2 ba^4 + b^2 + arctan(a) - arctan(a^2b) )

Resposta

A integral definida é igual a
12 a b^3 ( aa^2 + 1 - a^2 ba^4 + b^2 + arctan(a) - arctan(a^2b) )

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