Calcule.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida:
Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente usando substituição para resolver integrais que envolvem funções racionais. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a técnica de substituição adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que pode ser substituída por outra variável para simplificar a expressão. Observe que no denominador temos
, cuja derivada em relação a
é
. No numerador, temos
, que está relacionado com a derivada de
. Isso sugere que podemos usar substituição.
Passo 3
Vamos fazer a substituição:
Agora, calculamos a derivada de
em relação a
:
Queremos expressar
em termos de
:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na integral original:
Passo 5
A integral de
é o logaritmo natural de
:
Como estamos lidando com uma integral definida, não precisamos da constante
. Agora, substituímos
de volta para termos em termos de
:
Passo 6
Finalmente, aplicamos os limites de integração de
a
:
Podemos simplificar isso utilizando as propriedades dos logaritmos:
Resposta
O valor da integral é:
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