Calcule.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida:
Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente usando substituição para resolver integrais que envolvem funções racionais. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a técnica de substituição adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que pode ser substituída por outra variável para simplificar a expressão. Observe que no denominador temos , cuja derivada em relação a é . No numerador, temos , que está relacionado com a derivada de . Isso sugere que podemos usar substituição.

Passo 3

Vamos fazer a substituição:
Agora, calculamos a derivada de em relação a :
Queremos expressar em termos de :

Passo 4

Agora, substituímos e na integral original:

Passo 5

A integral de é o logaritmo natural de :
Como estamos lidando com uma integral definida, não precisamos da constante . Agora, substituímos de volta para termos em termos de :

Passo 6

Finalmente, aplicamos os limites de integração de a :
Podemos simplificar isso utilizando as propriedades dos logaritmos:

Resposta

O valor da integral é:

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