Calcule.
integral1^2 3 s1+s^2 d s

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida:
integral1^2 3 s1+s^2 , ds
Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente usando substituição para resolver integrais que envolvem funções racionais. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a técnica de substituição adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que pode ser substituída por outra variável para simplificar a expressão. Observe que no denominador temos 1 + s^2, cuja derivada em relação a s é 2s. No numerador, temos 3s, que está relacionado com a derivada de 1 + s^2. Isso sugere que podemos usar substituição.

Passo 3

Vamos fazer a substituição:
u = 1 + s^2
Agora, calculamos a derivada de u em relação a s:
duds = 2s Rightarrow du = 2s , ds
Queremos expressar s , ds em termos de du:
s , ds = du2

Passo 4

Agora, substituímos u e s , ds na integral original:
integral1^2 3 s1+s^2 , ds = 3 integral s1+s^2 , ds = 3 integral 1u cdot du2 = 32 integral 1u , du

Passo 5

A integral de 1u , du é o logaritmo natural de u:
32 integral 1u , du = 32 ln|u| + C
Como estamos lidando com uma integral definida, não precisamos da constante C. Agora, substituímos u de volta para termos em termos de s:
32 ln(1 + s^2)

Passo 6

Finalmente, aplicamos os limites de integração de s = 1 a s = 2:
[ 32 ln(1 + s^2) ]1^2 = 32 ln(1 + 2^2) - 32 ln(1 + 1^2) = 32 ln(5) - 32 ln(2)
Podemos simplificar isso utilizando as propriedades dos logaritmos:
32 (ln 5 - ln 2) = 32 ln(52)

Resposta

O valor da integral é:
32 ln(52)

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