Calcule e verifique sua resposta por derivação.
integral x+x^2x^2 d x

Passo 1

Então, a gente tem aqui um exercício de cálculo que pede para calcular a integral de x + x^2x^2 , dx e depois verificar a resposta derivando. Vamos precisar usar técnicas de integração e também entender como a derivada se relaciona com a integral. Basicamente, vamos simplificar essa fração, integrar os termos resultantes e depois conferir se a derivada da nossa solução dá de volta a expressão original.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração dentro da integral. Temos x + x^2x^2. Podemos dividir cada termo do numerador pelo denominador separadamente:
xx^2 + x^2x^2 = 1x + 1
Então, a integral fica:
integral ( 1x + 1 ) dx

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. Sabemos que:
  • A integral de 1x , dx é ln|x| + C, onde C é a constante de integração.
  • A integral de 1 , dx é x + C.
Então, integrando termo a termo:
integral 1x , dx + integral 1 , dx = ln|x| + x + C
Portanto, a solução da integral é ln|x| + x + C.

Passo 4

Para verificar se nossa resposta está correta, vamos derivar ln|x| + x + C e ver se retornamos à função original dentro da integral.
A derivada de ln|x| é 1x e a derivada de x é 1. A derivada da constante C é 0. Então:
ddx (ln|x| + x + C) = 1x + 1
Isso é exatamente o que tínhamos dentro da integral, então nossa solução está correta.

Resposta

A integral de x + x^2x^2 , dx é ln|x| + x + C.

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