Calcule e verifique sua resposta por derivação.

Passo 1

Então, a gente tem aqui um exercício de cálculo que pede para calcular a integral de e depois verificar a resposta derivando. Vamos precisar usar técnicas de integração e também entender como a derivada se relaciona com a integral. Basicamente, vamos simplificar essa fração, integrar os termos resultantes e depois conferir se a derivada da nossa solução dá de volta a expressão original.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração dentro da integral. Temos . Podemos dividir cada termo do numerador pelo denominador separadamente:
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. Sabemos que:
  • A integral de é , onde é a constante de integração.
  • A integral de é .
Então, integrando termo a termo:
Portanto, a solução da integral é .

Passo 4

Para verificar se nossa resposta está correta, vamos derivar e ver se retornamos à função original dentro da integral.
A derivada de é e a derivada de é . A derivada da constante é . Então:
Isso é exatamente o que tínhamos dentro da integral, então nossa solução está correta.

Resposta

A integral de é .

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