Calcule e verifique sua resposta por derivação.
Passo 1
Então, a gente tem aqui um exercício de cálculo que pede para calcular a integral de
e depois verificar a resposta derivando. Vamos precisar usar técnicas de integração e também entender como a derivada se relaciona com a integral. Basicamente, vamos simplificar essa fração, integrar os termos resultantes e depois conferir se a derivada da nossa solução dá de volta a expressão original.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração dentro da integral. Temos
. Podemos dividir cada termo do numerador pelo denominador separadamente:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos integrar cada termo separadamente. Sabemos que:
- A integral de
é , onde é a constante de integração. - A integral de
é .
Então, integrando termo a termo:
Portanto, a solução da integral é
.
Passo 4
Para verificar se nossa resposta está correta, vamos derivar
e ver se retornamos à função original dentro da integral.
A derivada de
é
e a derivada de
é
. A derivada da constante
é
. Então:
Isso é exatamente o que tínhamos dentro da integral, então nossa solução está correta.
Resposta
A integral de
é
.
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Calcule.
Mostre que
(k)
(k)
Calcule.
Calcule e verifique sua resposta por derivação.