Calcule: integral1^3(x^2+x)(3 x+1)

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral definida de no intervalo de 1 a 3. O conteúdo envolve Cálculo Integral, especificamente a integração de funções polinomiais. Para resolver, vamos precisar expandir os termos e depois integrar cada termo individualmente usando as regras de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o produto (x^2 + x)(3x + 1) = x^2 cdot 3x + x^2 cdot 1 + x cdot 3x + x cdot 1 = 3x^3 + x^2 + 3x^2 + x :
3x^3 + 4x^2 + x
Simplificando os termos semelhantes:

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo da função resultante:
integral (3x^3 + 4x^2 + x),dx
Aplicamos a regra da potência, que diz que:
integral x^n,dx = x^n+1n +1 + C
Aplicando essa regra a cada termo:
integral 3x^3 dx = 3x^44
integral 4x^2 dx = 4x^33
integral x dx = x^22
Juntando tudo, a antiderivada é:
3x^44 + 4x^33 + x^22 + C

Passo 4

Como a integral é definida de 1 a 3, vamos avaliar a antiderivada nesses limites:
[ 3x^44 + 4x^33 + x^22 ]1^3 = ( 3(3)^44 + 4(3)^33 + (3)^22 ) - ( 3(1)^44 + 4(1)^33 + (1)^22 )
Calculando cada parte:
Para 3 cdot 814 + 4 cdot 273 + 92 = 2434 + 36 + 92 = 2434 + 1444 + 184 = 4054 :
34 + 43 + 12 = 912 + 1612 + 612 = 3112
Para :

Passo 5

Agora, vamos calcular a diferença entre os limites:
4054 - 3112 = 121512 - 3112 = 118412 = 98 212 = 98 16

Resposta

A integral é igual a .

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