Utilizando o método de mudança de variável, calcule as integrais abaixo: integral1^3 x(x+1)^5 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral definida de x(x+1)^5 de 1 a 3 usando o método de mudança de variável. Isso significa que vamos substituir parte da expressão por uma nova variável para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, escolhemos uma parte da expressão para substituir. Aqui, vamos deixar u = x + 1. Isso simplifica o denominador e facilita a integração.

Passo 3

Agora, derivamos u em relação a x para encontrar du. Então, dudx = 1, ou seja, du = dx.

Passo 4

Precisamos também expressar x em termos de u. Como u = x + 1, podemos rearranjar para obter x = u - 1.

Passo 5

Substituindo tudo na integral original, temos:
integral1^3 x(x+1)^5 dx = integral2^4 u - 1u^5 du
Aqui, os novos limites de integração são 2 e 4 porque quando x = 1, u = 2, e quando x = 3, u = 4.

Passo 6

Vamos simplificar a fração dentro da integral:
u - 1u^5 = uu^5 - 1u^5 = u^-4 - u^-5
Isso torna a integral mais fácil de resolver.

Passo 7

Agora, integramos termo a termo:
integral u^-4 du = u^-3-3 = -13u^3
integral u^-5 du = u^-4-4 = -14u^4
Então, a integral fica:
-13u^3 + 14u^4 g|2^4

Passo 8

Vamos agora avaliar essa expressão nos limites de 2 a 4:
( -13 cdot 4^3 + 14 cdot 4^4 ) - ( -13 cdot 2^3 + 14 cdot 2^4 )

Passo 9

Simplificando os cálculos:
-1192 + 11024 - ( -124 + 164 ) = -1192 + 11024 + 124 - 164
Convertendo todas as frações para um denominador comum e somando:
approx 0,0417

Resposta

O valor da integral é aproximadamente 0,0417.

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