Utilizando o método de mudança de variável, calcule as integrais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral definida de de 1 a 3 usando o método de mudança de variável. Isso significa que vamos substituir parte da expressão por uma nova variável para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, escolhemos uma parte da expressão para substituir. Aqui, vamos deixar . Isso simplifica o denominador e facilita a integração.
Passo 3
Agora, derivamos em relação a para encontrar . Então, , ou seja, .
Passo 4
Precisamos também expressar em termos de . Como , podemos rearranjar para obter .
Passo 5
Substituindo tudo na integral original, temos:
Aqui, os novos limites de integração são 2 e 4 porque quando , , e quando , .
Passo 6
Vamos simplificar a fração dentro da integral:
Isso torna a integral mais fácil de resolver.
Passo 7
Agora, integramos termo a termo:
Então, a integral fica:
Passo 8
Vamos agora avaliar essa expressão nos limites de 2 a 4:
Passo 9
Simplificando os cálculos:
Convertendo todas as frações para um denominador comum e somando: