Utilizando o método de mudança de variável, calcule as integrais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral definida de de 1 a 3 usando o método de mudança de variável. Isso significa que vamos substituir parte da expressão por uma nova variável para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, escolhemos uma parte da expressão para substituir. Aqui, vamos deixar . Isso simplifica o denominador e facilita a integração.

Passo 3

Agora, derivamos em relação a para encontrar . Então, , ou seja, .

Passo 4

Precisamos também expressar em termos de . Como , podemos rearranjar para obter .

Passo 5

Substituindo tudo na integral original, temos:
Aqui, os novos limites de integração são 2 e 4 porque quando , , e quando , .

Passo 6

Vamos simplificar a fração dentro da integral:
Isso torna a integral mais fácil de resolver.

Passo 7

Agora, integramos termo a termo:
Então, a integral fica:

Passo 8

Vamos agora avaliar essa expressão nos limites de 2 a 4:

Passo 9

Simplificando os cálculos:
Convertendo todas as frações para um denominador comum e somando:

Resposta

O valor da integral é aproximadamente .

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