Utilize o método de integração por partes para calcular as seguintes integrais: integral2^3 x ln (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral definida de no intervalo de 2 a 3 utilizando o método de integração por partes. Para isso, vamos precisar lembrar como funciona essa técnica e identificar quais partes da integral vão ser e .

Passo 2

A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Primeiro, vamos escolher u = ln(x) e dv = x , dx e du = 1x , dx e v = integral x , dx = 12x^2 da nossa integral . Vamos definir:
Agora, precisamos encontrar e :

Passo 3

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral2^3 x ln(x) , dx = 12x^2 ln(x) |2^3 - integral2^3 12x^2 cdot 1x , dx
Simplificando a segunda integral:
integral2^3 12x^2 cdot 1x , dx = 12 integral2^3 x , dx = 12 [ 12x^2 ]2^3 = 14(9 - 4) = 54

Passo 4

Agora, substituindo os limites na primeira parte:
12x^2 ln(x) |2^3 = 12(3^2 ln(3) - 2^2 ln(2)) = 12(9 ln(3) - 4 ln(2)) = 92ln(3) - 2ln(2)

Resposta

Portanto, o valor da integral é:
92ln(3) - 2ln(2) - 54

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