Derive.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a derivada da função
. Isso faz parte do cálculo diferencial, especificamente usando as regras de derivação como a regra do produto e a regra da cadeia. Vamos precisar entender como derivar funções compostas e como lidar com funções trigonométricas como o secante.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. A raiz quadrada pode ser expressa como uma potência de
. Então:
Aqui, identificamos que temos uma função composta, onde uma função está dentro de outra.
Passo 3
Agora, para derivar
, vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia nos ajuda a derivar funções compostas. Sei que se temos
, então:
Aplicando isso à nossa função:
Passo 4
Agora, precisamos derivar a parte dentro do parêntese:
. Para isso, usamos a regra do produto, que diz que se temos
, a derivada é:
Aqui,
e
.
Passo 5
Vamos derivar
e
:
-
Derivada de
é . -
Derivada de
requer a regra da cadeia novamente. Sabemos que:
Onde
, então
.
Portanto:
Passo 6
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 7
Agora, voltamos à derivada de
:
Podemos simplificar um pouco mais:
Resposta
A derivada da função é:
Exercícios relacionados
Responda os seguintes itens das funções dadas abaixo:
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
a) Encontre o(s) ponto(s) crítico(s), se existirem,
b) Intervalos de Crescimento e Decrescimento, se existirem,
c) Ponto(s) máximo(s) e/ou mínimo(s), se existirem,
d) Intervalos de Concavidade para Cima e para Baixo, se existirem,
e) Ponto(s) inflexão, se existirem,
f) Assíntota(s), se existirem,
g) Construa o gráfico.
Calcule
. Dê o resultado com duas casas decimais.
Derive:
.
Derive:
.