Derive.
f(x) = raiz(x * sec(x^2 + 2)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a derivada da função . Isso faz parte do cálculo diferencial, especificamente usando as regras de derivação como a regra do produto e a regra da cadeia. Vamos precisar entender como derivar funções compostas e como lidar com funções trigonométricas como o secante.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. A raiz quadrada pode ser expressa como uma potência de . Então:
Aqui, identificamos que temos uma função composta, onde uma função está dentro de outra.

Passo 3

Agora, para derivar , vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia nos ajuda a derivar funções compostas. Sei que se temos , então:
Aplicando isso à nossa função:

Passo 4

Agora, precisamos derivar a parte dentro do parêntese: . Para isso, usamos a regra do produto, que diz que se temos , a derivada é:
Aqui, e .

Passo 5

Vamos derivar e :
  • Derivada de é .
  • Derivada de requer a regra da cadeia novamente. Sabemos que:
Onde , então .
Portanto:

Passo 6

Aplicando a regra do produto:
Simplificando:

Passo 7

Agora, voltamos à derivada de :
Podemos simplificar um pouco mais:

Resposta

A derivada da função é:

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