Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que você precisa resolver é a integral definida de
entre
e
. Esse tipo de problema pertence à matéria de Cálculo Integral. Para resolver, vamos usar a técnica de substituição, que basicamente simplifica a integral transformando-a em algo mais fácil de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da função que pode ser substituída por outra variável para facilitar a integração. Olhando para o numerador e o denominador, percebemos que o numerador
é a derivada do denominador
.
Então, vamos fazer a substituição:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir na integral:
Isso significa que:
Perfeito! O numerador da nossa integral é exatamente
, que acabamos de expressar em termos de
.
Passo 4
Com a substituição, a integral original fica mais simples. Vamos reescrever a integral em termos de
:
A integral
é uma integral bem conhecida, cuja solução é o logaritmo natural de
mais uma constante.
Passo 5
Agora, vamos integrar:
Substituindo
de volta para termos de
:
Como estamos lidando com uma integral definida de
a
, podemos calcular os limites:
Resposta
A integral resulta em: