Calcule: integral1^2 e^z+1e^z+z d z

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que você precisa resolver é a integral definida de entre e . Esse tipo de problema pertence à matéria de Cálculo Integral. Para resolver, vamos usar a técnica de substituição, que basicamente simplifica a integral transformando-a em algo mais fácil de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que pode ser substituída por outra variável para facilitar a integração. Olhando para o numerador e o denominador, percebemos que o numerador u = e^z + z é a derivada do denominador .
Então, vamos fazer a substituição:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudz = e^z + 1 em relação a du = (e^z + 1) , dz para substituir na integral:
Isso significa que:
Perfeito! O numerador da nossa integral é exatamente , que acabamos de expressar em termos de .

Passo 4

Com a substituição, a integral original fica mais simples. Vamos reescrever a integral em termos de integral e^z + 1e^z + z , dz = integral duu :
A integral é uma integral bem conhecida, cuja solução é o logaritmo natural de mais uma constante.

Passo 5

Agora, vamos integrar:
integral duu = ln|u| + C
Substituindo ln|e^z + z| + C de volta para termos de [ ln(e^z + z) ]1^2 = ln(e^2 + 2) - ln(e^1 + 1) :
Como estamos lidando com uma integral definida de a , podemos calcular os limites:

Resposta

A integral resulta em:
ln(e^2 + 2e + 1)

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