Calcule, usando a integral dupla, a área da região D em cada item: (b) D é a região limitada pela curva fechada (2 x - 4 y + 7)² + (x - 5 y)² = 16.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área da região usando uma integral dupla. A região é limitada pela curva fechada . Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica e cálculo de integrais duplas para encontrar essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que define a região . A equação é . Isso parece uma combinação de duas expressões lineares ao quadrado, o que sugere que a curva pode ser uma elipse ou círculo após uma transformação coordenada adequada.

Passo 3

Para simplificar a equação, vamos fazer uma mudança de variável. Vamos definir:
Com essa substituição, a equação da curva fica:
Isso é a equação de um círculo com raio 4 no sistema de coordenadas .

Passo 4

Agora, precisamos expressar a área na nova coordenada . A área de um círculo é dada por . Como o raio , a área será:

Passo 5

Mas lembre-se que fizemos uma mudança de variável. Precisamos considerar o determinante da matriz jacobiana dessa transformação para ajustar a área corretamente.
A transformação que fizemos é:
Vamos montar a matriz jacobiana :
O determinante de é:
Tomamos o valor absoluto do determinante para a mudança de área:

Passo 6

Agora, para encontrar a área original , usamos a relação:

Resposta

A área da região é unidades de área.

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