Calcule, usando a integral dupla, a área da região
em cada item: (b)
é a região limitada pela curva fechada
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área da região
usando uma integral dupla. A região
é limitada pela curva fechada
. Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica e cálculo de integrais duplas para encontrar essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que define a região
. A equação é
. Isso parece uma combinação de duas expressões lineares ao quadrado, o que sugere que a curva pode ser uma elipse ou círculo após uma transformação coordenada adequada.
Passo 3
Para simplificar a equação, vamos fazer uma mudança de variável. Vamos definir:
Com essa substituição, a equação da curva fica:
Isso é a equação de um círculo com raio 4 no sistema de coordenadas
.
Passo 4
Agora, precisamos expressar a área na nova coordenada
. A área de um círculo é dada por
. Como o raio
, a área será:
Passo 5
Mas lembre-se que fizemos uma mudança de variável. Precisamos considerar o determinante da matriz jacobiana dessa transformação para ajustar a área corretamente.
A transformação que fizemos é:
Vamos montar a matriz jacobiana
:
O determinante de
é:
Tomamos o valor absoluto do determinante para a mudança de área:
Passo 6
Agora, para encontrar a área original
, usamos a relação:
Resposta
A área da região
é
unidades de área.