Calcule os limites:
a) lim x 4 -4 x^3+16 x^2+4 x-16x-4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular:
lim x 4 -4 x^3+16 x^2+4 x-16x-4
Aqui, estamos trabalhando com o cálculo de limites, mais especificamente com funções racionais onde o denominador se aproxima de zero. Para resolver isso, vamos precisar fatorar o numerador e simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o comportamento da função quando -4(4)^3 + 16(4)^2 + 4(4) - 16 = -256 + 256 + 16 - 16 = 0 se aproxima de 4. Se substituirmos 4 diretamente na expressão, teremos:
Numerador:
4 - 4 = 0
Denominador:
Isso nos dá uma forma indeterminada . Para resolver essa indeterminação, precisamos fatorar o numerador e simplificar a expressão.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador:
-4x^3 + 16x^2 + 4x - 16
Primeiro, fatoramos o -4:
-4(x^3 - 4x^2 - x + 4)
Agora, vamos fatorar o polinômio dentro dos parênteses:
x^3 - 4x^2 - x + 4
Podemos agrupar os termos:
(x^3 - 4x^2) + (-x + 4) = x^2(x - 4) -1(x - 4) = (x^2 - 1)(x - 4)
E, por fim, fatoramos (x - 1)(x + 1)(x - 4) como uma diferença de quadrados:
-4(x - 1)(x + 1)(x - 4)
Então, o numerador fatorado fica:

Passo 4

Agora, substituímos o numerador fatorado na expressão original:
-4(x - 1)(x + 1)(x - 4)x - 4
Notamos que o termo -4(x - 1)(x + 1) está presente tanto no numerador quanto no denominador, então podemos cancelá-lo, desde que (o que é válido para o limite):

Passo 5

Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite substituindo -4(4 - 1)(4 + 1) = -4(3)(5) = -4 times 15 = -60 por 4:

Resposta

O limite é .

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