Calcule, usando a integral dupla, o volume dos seguintes sólidos: (e)
é o sólido que está acima do plano
e é limitado por
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que está acima do plano
e é limitado pelas superfícies
e
. Para isso, vamos usar integrais duplas, que são ótimas para encontrar volumes em regiões bidimensionais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações que definem o sólido. A equação
é uma elipse no plano
. Podemos reescrever essa equação como
, o que mostra que a elipse tem semi-eixos de comprimento 2 na direção x e 1 na direção y.
Passo 3
Agora, a superfície
nos dá a altura do sólido acima de cada ponto
na elipse. O volume que queremos é a integral dupla dessa função sobre a região delimitada pela elipse.
Passo 4
Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas elípticas. Fazemos a substituição:
Com isso, a equação da elipse fica
, o que simplifica os limites de integração:
varia de 0 a 1 e
varia de 0 a
.
Passo 5
A função
em coordenadas elípticas fica:
E o elemento de área
em coordenadas elípticas é:
Onde
é o determinante jacobiano da transformação.
Passo 6
Agora, configuramos a integral dupla para o volume:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Então, a integral fica:
Resposta
O volume do sólido
é
unidades cúbicas.