Calcule, usando a integral dupla, o volume dos seguintes sólidos: (e) S é o sólido que está acima do plano x y e é limitado por z = x^2 + 4*y^2 e x^2 + 4y^2 = 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que está acima do plano e é limitado pelas superfícies e . Para isso, vamos usar integrais duplas, que são ótimas para encontrar volumes em regiões bidimensionais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações que definem o sólido. A equação é uma elipse no plano . Podemos reescrever essa equação como , o que mostra que a elipse tem semi-eixos de comprimento 2 na direção x e 1 na direção y.

Passo 3

Agora, a superfície nos dá a altura do sólido acima de cada ponto na elipse. O volume que queremos é a integral dupla dessa função sobre a região delimitada pela elipse.

Passo 4

Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas elípticas. Fazemos a substituição:
Com isso, a equação da elipse fica , o que simplifica os limites de integração: varia de 0 a 1 e varia de 0 a .

Passo 5

A função em coordenadas elípticas fica:
E o elemento de área em coordenadas elípticas é:
Onde é o determinante jacobiano da transformação.

Passo 6

Agora, configuramos a integral dupla para o volume:

Passo 7

Vamos resolver a integral interna primeiro:
Então, a integral fica:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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