Utilize o método de integração por partes para calcular as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método de integração por partes. Isso faz parte do estudo de cálculo integral, onde a integração por partes é uma técnica para integrar produtos de funções. Para isso, vamos precisar identificar duas partes da nossa função que vamos derivar e integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar e . A regra de integração por partes diz que . Vamos escolher:
Agora, precisamos encontrar e .

Passo 3

Calculando e :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Agora, temos uma nova integral para resolver: .

Passo 5

Vamos aplicar integração por partes novamente na nova integral. Escolhemos:
Então:

Passo 6

Aplicando a integração por partes na segunda integral:
Agora, substituímos isso na equação anterior:
Simplificando:

Passo 7

Vamos chamar a integral original de :
Substituindo na equação:
Somando de ambos os lados:
Então:

Passo 8

Agora, aplicamos os limites de 0 a 1:
Calculando em :
E em :
Subtraindo:

Resposta

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Utilizando o método de mudança de variável, calcule as integrais abaixo: