Utilize o método de integração por partes para calcular as seguintes integrais: integral0^1 e^x cos (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método de integração por partes. Isso faz parte do estudo de cálculo integral, onde a integração por partes é uma técnica para integrar produtos de funções. Para isso, vamos precisar identificar duas partes da nossa função que vamos derivar e integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar u = e^x e dv = cos(x) , dx e . A regra de integração por partes diz que . Vamos escolher:
Agora, precisamos encontrar e .

Passo 3

Calculando du = ddx e^x , dx = e^x , dx e v = integral cos(x) , dx = sin(x) :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral e^x cos(x) , dx = e^x sin(x) - integral sin(x) e^x , dx
Agora, temos uma nova integral para resolver: .

Passo 5

Vamos aplicar integração por partes novamente na nova integral. Escolhemos:
u = e^x e dv = sin(x) , dx
Então:
du = e^x , dx
v = -cos(x)

Passo 6

Aplicando a integração por partes na segunda integral:
integral e^x sin(x) , dx = -e^x cos(x) + integral e^x cos(x) , dx
Agora, substituímos isso na equação anterior:
integral e^x cos(x) , dx = e^x sin(x) - ( -e^x cos(x) + integral e^x cos(x) , dx )
Simplificando:
integral e^x cos(x) , dx = e^x sin(x) + e^x cos(x) - integral e^x cos(x) , dx

Passo 7

Vamos chamar a integral original de I = integral e^x cos(x) , dx :
I = e^x sin(x) + e^x cos(x) - I
Substituindo na equação:
2I = e^x (sin(x) + cos(x))
Somando I = e^x (sin(x) + cos(x))2 de ambos os lados:
Então:

Passo 8

Agora, aplicamos os limites de 0 a 1:
integral0^1 e^x cos(x) , dx = [ e^x (sin(x) + cos(x))2 ]0^1
Calculando em e^1 (sin(1) + cos(1))2 :
e^0 (sin(0) + cos(0))2 = 1 (0 + 1)2 = 12
E em e (sin(1) + cos(1))2 - 12 = e (sin(1) + cos(1)) - 12 :
Subtraindo:

Resposta

integral0^1 e^x cos(x) , dx = e (sin(1) + cos(1)) - 12

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