Considere as funções
e
, em que
é um número real positivo.
(d) Determine o valor mínimo da área da região delimitada por
e
.
(d) Determine o valor mínimo da área da região delimitada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o valor mínimo da área da região delimitada pelas funções
e
, onde
é um número real positivo. Para resolver isso, a gente vai precisar usar cálculo integral para achar a área entre as duas curvas e depois otimizar essa área para encontrar o mínimo.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde as duas funções se encontram, ou seja, resolver
. Isso nos dá:
Simplificando essa equação:
Resolvendo para
:
Portanto, os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a área entre as curvas. A área
é dada pela integral da diferença absoluta entre
e
nos pontos de interseção:
Onde
.
Como
, e essa expressão é negativa dentro do intervalo, podemos reescrever a área como:
Passo 4
Vamos calcular essa integral:
Substituindo
:
Simplificando:
Passo 5
Agora queremos encontrar o valor de
que minimiza
. Para isso, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Calculando a derivada:
Igualando a zero:
Fatorando:
Resolvendo:
Resposta
O valor mínimo da área da região delimitada por
e
é 144.