Considere as funções f(x) = x^2 + 3x e g(x) = (1 - (k + 1)^2) x^2 + 3 x + (k + 5)^2, em que k é um número real positivo.
(d) Determine o valor mínimo da área da região delimitada por f e g.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o valor mínimo da área da região delimitada pelas funções e , onde é um número real positivo. Para resolver isso, a gente vai precisar usar cálculo integral para achar a área entre as duas curvas e depois otimizar essa área para encontrar o mínimo.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde as duas funções se encontram, ou seja, resolver . Isso nos dá:
Simplificando essa equação:
Resolvendo para :
Portanto, os pontos de interseção são e .

Passo 3

Agora, vamos calcular a área entre as curvas. A área é dada pela integral da diferença absoluta entre e nos pontos de interseção:
Onde .
Como , e essa expressão é negativa dentro do intervalo, podemos reescrever a área como:

Passo 4

Vamos calcular essa integral:
Substituindo :
Simplificando:

Passo 5

Agora queremos encontrar o valor de que minimiza . Para isso, derivamos em relação a e igualamos a zero:
Calculando a derivada:
Igualando a zero:
Fatorando:
Resolvendo:

Resposta

O valor mínimo da área da região delimitada por e é 144.

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