Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de linha , onde é a metade superior do círculo . Isso envolve conhecimentos de cálculo de integrais de linha e parametrização de curvas.
Passo 2
Para resolver essa integral, vamos precisar parametrizar a curva . Como é a metade superior do círculo unitário, podemos usar coordenadas trigonométricas para facilitar. Vamos definir uma parametrização usando o ângulo .
Passo 3
A parametrização do círculo unitário é dada por:
Como estamos lidando com a metade superior, varia de a .
Passo 4
Agora, precisamos expressar em termos de . A diferencial de arco pode ser encontrada usando:
Calculando as derivadas:
Então:
Passo 5
Substituímos as parametrizações de , e na integral:
Agora, simplificamos a expressão dentro da integral:
Passo 6
Vamos separar a integral em duas partes para facilitar o cálculo:
A primeira integral é simples, e a segunda pode ser resolvida usando substituição.
Passo 7
Calculando a primeira integral:
Passo 8
Para a segunda integral, fazemos a substituição u = sintheta, então du = costheta dtheta. Quando theta = 0, u = 0; e quando theta = pi, u = 0. Portanto: