Calcule integralC(1+x y^2) ds, onde C é a metade superior do círculo x^2+y^2=1.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de linha integralC(1+x y^2) ds, onde C é a metade superior do círculo x^2+y^2=1. Isso envolve conhecimentos de cálculo de integrais de linha e parametrização de curvas.

Passo 2

Para resolver essa integral, vamos precisar parametrizar a curva C. Como C é a metade superior do círculo unitário, podemos usar coordenadas trigonométricas para facilitar. Vamos definir uma parametrização usando o ângulo theta.

Passo 3

A parametrização do círculo unitário é dada por:
x = costheta y = sintheta
Como estamos lidando com a metade superior, theta varia de 0 a pi.

Passo 4

Agora, precisamos expressar ds em termos de theta. A diferencial de arco ds pode ser encontrada usando:
ds = raiz(dxdtheta)^2 + (dydtheta)^2 , dtheta
Calculando as derivadas:
dxdtheta = -sintheta dydtheta = costheta
Então:
ds = raiz(-sintheta)^2 + (costheta)^2 , dtheta = raizsin^2theta + cos^2theta , dtheta = raiz1 , dtheta = dtheta

Passo 5

Substituímos as parametrizações de x, y e ds na integral:
integralC(1+x y^2) ds = integral0^pi (1 + (costheta)(sin^2theta)) dtheta
Agora, simplificamos a expressão dentro da integral:
1 + costheta sin^2theta

Passo 6

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar o cálculo:
integral0^pi 1 , dtheta + integral0^pi costheta sin^2theta , dtheta
A primeira integral é simples, e a segunda pode ser resolvida usando substituição.

Passo 7

Calculando a primeira integral:
integral0^pi 1 , dtheta = theta g|0^pi = pi - 0 = pi

Passo 8

Para a segunda integral, fazemos a substituição u = sintheta, então du = costheta dtheta. Quando theta = 0, u = 0; e quando theta = pi, u = 0. Portanto:
integral0^pi costheta sin^2theta , dtheta = integral0^0 u^2 , du = 0

Resposta

Somando as duas integrais, temos:
pi + 0 = pi
Portanto, o valor da integral é pi.

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