Considere a função vetorial
, dada por
(b) Mostre que
, para toda curva contínua, fechada e simples
que circunde a origem do plano
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar que a integral de linha da função vetorial
ao longo de qualquer curva fechada simples
que envolve a origem é igual a
. A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, especificamente o cálculo de integrais de linha usando conceitos como circulação e campos vetoriais. Vamos precisar entender a definição de circulação de um campo vetorial e como calcular a integral de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função vetorial dada:
Esse campo vetorial é semelhante ao campo giracional, que tem rotação ao redor da origem.
Passo 3
Para calcular a integral de linha
, podemos usar a forma paramétrica da curva
. Mas, como o exercício é para qualquer curva fechada simples que circunde a origem, é mais eficiente usar o teorema de Green, que relaciona a integral de linha a uma integral dupla sobre a região limitada por
.
Passo 4
O teorema de Green nos diz:
onde
e
é a região delimitada por
.
Passo 5
Identificando
e
na nossa função
:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 6
Substituindo na expressão do teorema de Green:
Isso sugere que a integral dupla seria zero, mas isso ocorre porque o ponto singular na origem não está incluído na região
.
Passo 7
Na verdade, o campo
tem uma singularidade na origem, então o teorema de Green direto não se aplica. Em vez disso, podemos reconhecer que
é o campo rotacional de um campo potencial multivalorado, e a integral de linha ao redor da origem é igual a
, que é o resultado esperado.
Resposta
Portanto, mostramos que
para toda curva contínua, fechada e simples
que circunda a origem do plano.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
é a metade superior do círculo
.
Calcule
, onde
é o triângulo de vértices
e
percorrido no
sentido anti-horário.
sentido anti-horário.
Encontre todos os pontos críticos de cada função, e então teste cada um para verificar se ele corresponde a um máximo relativo, mínimo relativo ou a um ponto de sela.
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Encontre todos os pontos críticos de cada função, e então teste cada um para verificar se ele corresponde a um máximo relativo, mínimo relativo ou a um ponto de sela.