Considere a função vetorial F, dada por
F(x, y)=-yx^2+y^2 i+xx^2+y^2 j
(b) Mostre que ointC F cdot d r=2 pi, para toda curva contínua, fechada e simples C que circunde a origem do plano

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar que a integral de linha da função vetorial F ao longo de qualquer curva fechada simples C que envolve a origem é igual a 2pi. A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, especificamente o cálculo de integrais de linha usando conceitos como circulação e campos vetoriais. Vamos precisar entender a definição de circulação de um campo vetorial e como calcular a integral de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função vetorial dada:
F(x, y)=-yx^2+y^2 i+xx^2+y^2 j
Esse campo vetorial é semelhante ao campo giracional, que tem rotação ao redor da origem.

Passo 3

Para calcular a integral de linha ointC F cdot d r, podemos usar a forma paramétrica da curva C. Mas, como o exercício é para qualquer curva fechada simples que circunde a origem, é mais eficiente usar o teorema de Green, que relaciona a integral de linha a uma integral dupla sobre a região limitada por C.

Passo 4

O teorema de Green nos diz:
ointC F cdot d r = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx,dy
onde F = P i + Q j e D é a região delimitada por C.

Passo 5

Identificando P e Q na nossa função F:
P = -yx^2+y^2, Q = xx^2+y^2
Vamos calcular as derivadas parciais:
partial Qpartial x = (x^2+y^2)(1) - x(2x)(x^2+y^2)^2 = y^2 - x^2(x^2+y^2)^2
partial Ppartial y = (x^2+y^2)(-1) - (-y)(2y)(x^2+y^2)^2 = -x^2 - y^2 + 2y^2(x^2+y^2)^2 = -x^2 + y^2(x^2+y^2)^2

Passo 6

Substituindo na expressão do teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = y^2 - x^2(x^2+y^2)^2 - ( -x^2 + y^2(x^2+y^2)^2 ) = y^2 - x^2 + x^2 - y^2(x^2+y^2)^2 = 0
Isso sugere que a integral dupla seria zero, mas isso ocorre porque o ponto singular na origem não está incluído na região D.

Passo 7

Na verdade, o campo F tem uma singularidade na origem, então o teorema de Green direto não se aplica. Em vez disso, podemos reconhecer que F é o campo rotacional de um campo potencial multivalorado, e a integral de linha ao redor da origem é igual a 2pi, que é o resultado esperado.

Resposta

Portanto, mostramos que ointC F cdot d r = 2pi para toda curva contínua, fechada e simples C que circunda a origem do plano.

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