Encontre todos os pontos críticos de cada função, e então teste cada um para verificar se ele corresponde a um máximo relativo, mínimo relativo ou a um ponto de sela.
f(x, y) = x^2 + (y - 1)^2;

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar todos os pontos críticos da função e depois verificar se cada um deles é um máximo relativo, mínimo relativo ou um ponto de sela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariado, como derivadas parciais e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que são pontos críticos. São os pontos onde todas as derivadas parciais da função igualam a zero. Então, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Resolvendo essas equações, temos:
Então, o único ponto crítico é .

Passo 4

Com o ponto crítico identificado, precisamos determinar se ele é um mínimo relativo, máximo relativo ou um ponto de sela. Para isso, usamos o teste da segunda derivada, que envolve calcular a matriz Hessiana da função.
Primeiro, vamos achar as segundas derivadas parciais:

Passo 5

A matriz Hessiana é composta pelas segundas derivadas parciais:
Para aplicar o teste da segunda derivada, calculamos o determinante da Hessiana:

Passo 6

Agora, analisamos o resultado do determinante :
  • Se e , temos um mínimo relativo.
  • Se e , temos um máximo relativo.
  • Se , temos um ponto de sela.
  • Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, e , então o ponto crítico é um mínimo relativo.

Resposta

O único ponto crítico é , que corresponde a um mínimo relativo.

Exercícios relacionados

Considere a função vetorial F, dada por
F(x, y)=-yx^2+y^2 i+xx^2+y^2 j
(b) Mostre que ointC F cdot d r=2 pi, para toda curva contínua, fechada e simples C que circunde a origem do plano
Calcule integralC(1+x y^2) ds, onde C é a metade superior do círculo x^2+y^2=1.
Encontre todos os pontos críticos de cada função, e então teste cada um para verificar se ele corresponde a um máximo relativo, mínimo relativo ou a um ponto de sela.
f(x, y) = x*y - x - y
Encontre todos os pontos críticos de cada função, e então teste cada um para verificar se ele corresponde a um máximo relativo, mínimo relativo ou a um ponto de sela.
f(x, y) = x^2 + y^2 + x^2 * y + 2