Encontre todos os pontos críticos de cada função, e então teste cada um para verificar se ele corresponde a um máximo relativo, mínimo relativo ou a um ponto de sela.
;
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar todos os pontos críticos da função
e depois verificar se cada um deles é um máximo relativo, mínimo relativo ou um ponto de sela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariado, como derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar o que são pontos críticos. São os pontos onde todas as derivadas parciais da função igualam a zero. Então, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Resolvendo essas equações, temos:
Então, o único ponto crítico é
.
Passo 4
Com o ponto crítico
identificado, precisamos determinar se ele é um mínimo relativo, máximo relativo ou um ponto de sela. Para isso, usamos o teste da segunda derivada, que envolve calcular a matriz Hessiana da função.
Primeiro, vamos achar as segundas derivadas parciais:
Passo 5
A matriz Hessiana
é composta pelas segundas derivadas parciais:
Para aplicar o teste da segunda derivada, calculamos o determinante da Hessiana:
Passo 6
Agora, analisamos o resultado do determinante
:
- Se
e , temos um mínimo relativo. - Se
e , temos um máximo relativo. - Se
, temos um ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
No nosso caso,
e
, então o ponto crítico
é um mínimo relativo.
Resposta
O único ponto crítico é
, que corresponde a um mínimo relativo.
Exercícios relacionados
Considere a função vetorial
, dada por
(b) Mostre que
, para toda curva contínua, fechada e simples
que circunde a origem do plano
Calcule
, onde
é a metade superior do círculo
.
Encontre todos os pontos críticos de cada função, e então teste cada um para verificar se ele corresponde a um máximo relativo, mínimo relativo ou a um ponto de sela.
Encontre todos os pontos críticos de cada função, e então teste cada um para verificar se ele corresponde a um máximo relativo, mínimo relativo ou a um ponto de sela.