Mostre que
é diferenciável em
e calcule o plano tangente ao gráfico de
no ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a função
é diferenciável no ponto
e para calcular o plano tangente ao gráfico dessa função nesse ponto. Vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e a definição de diferenciabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função
é diferenciável em
. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
no ponto
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
No ponto
, isso fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
No ponto
, isso fica:
Passo 5
Com as derivadas parciais calculadas, podemos usar a definição de diferenciabilidade. Se as derivadas parciais existem e são contínuas em
, então
é diferenciável nesse ponto. Como encontramos
e
, e as derivadas são contínuas, concluímos que
é diferenciável em
.
Passo 6
Agora, vamos encontrar o plano tangente ao gráfico de
no ponto
. A equação do plano tangente é dada por:
Aqui,
e
. Substituindo os valores:
Resposta
O plano tangente ao gráfico de
no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
é a parte da circunferência
com
percorrida no sentido anti-horário.
Seja
a) Calcule
O comprimento
, a largura
e a altura
de uma caixa variam com o tempo. Em um determinado momento, as dimensões são
e
,
e
estão aumentando em uma taxa de
enquanto
está decrescendo em uma taxa de
. Nesse instante, encontre as taxas em que as seguintes quantidades estão variando.
O comprimento da diagonal
O comprimento da diagonal
Calcule
, onde
é uma curva com parametrização
.