Mostre que é diferenciável em e calcule o plano tangente ao gráfico de no ponto

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a função é diferenciável no ponto e para calcular o plano tangente ao gráfico dessa função nesse ponto. Vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e a definição de diferenciabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é diferenciável em . Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e no ponto .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
No ponto , isso fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
No ponto , isso fica:

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, podemos usar a definição de diferenciabilidade. Se as derivadas parciais existem e são contínuas em , então é diferenciável nesse ponto. Como encontramos e , e as derivadas são contínuas, concluímos que é diferenciável em .

Passo 6

Agora, vamos encontrar o plano tangente ao gráfico de no ponto . A equação do plano tangente é dada por:
Aqui, e . Substituindo os valores:

Resposta

O plano tangente ao gráfico de no ponto é .

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.
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