Calcule integralC(2+x^2 y) d s, onde C é a metade superior do círculo x^2+y^2=4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral de linha do tipo , onde é a metade de cima do círculo . Isso envolve calcular a integral ao longo de uma curva, que nesse caso é um semicírculo. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva e depois calcular a integral usando a parametrização.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva x = 2 cos theta . Como é a metade superior do círculo de raio 2, podemos usar coordenadas polares. Assim, podemos definir:
y = 2 sin theta
Onde varia de a para cobrir a metade de cima do círculo.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar d s = raiz(dxdtheta)^2 + (dydtheta)^2 , dtheta , que é o elemento de comprimento ao longo da curva. Em termos de dxdtheta = -2 sin theta , temos:
dydtheta = 2 cos theta
Calculando as derivadas:
d s = raiz(-2 sin theta)^2 + (2 cos theta)^2 , dtheta = raiz4 sin^2 theta + 4 cos^2 theta , dtheta = raiz4 (sin^2 theta + cos^2 theta) , dtheta = raiz4 , dtheta = 2 , dtheta
Então,

Passo 4

Agora, vamos substituir integralC(2 + x^2 y) d s = integral0^pi (2 + (2 cos theta)^2 (2 sin theta)) cdot 2 , dtheta , = integral0^pi (2 + 4 cos^2 theta cdot 2 sin theta) cdot 2 , dtheta = integral0^pi (2 + 8 cos^2 theta sin theta) cdot 2 , dtheta e na integral original:
Simplificando dentro da integral:

Passo 5

Vamos agora distribuir o 2 na integral:
= integral0^pi (4 + 16 cos^2 theta sin theta) , dtheta
Essa integral pode ser dividida em duas partes:
= integral0^pi 4 , dtheta + integral0^pi 16 cos^2 theta sin theta , dtheta

Passo 6

Calculando cada parte:
Primeira integral:
integral0^pi 4 , dtheta = 4 theta |0^pi = 4pi
Segunda integral: Vamos usar substituição integral0^pi 16 cos^2 theta sin theta , dtheta = -16 integral1^-1 u^2 , du = 16 integral-1^1 u^2 , du = 16 [ u^33 ]-1^1 = 16 ( 13 - ( -13 ) ) = 16 cdot 23 = 323 , então . Alterando os limites:
Para , ;
Para , .

Resposta

Somando as duas partes:
4pi + 323 = 12pi + 323
Portanto, o valor da integral é .

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