Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral de linha do tipo , onde é a metade de cima do círculo . Isso envolve calcular a integral ao longo de uma curva, que nesse caso é um semicírculo. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva e depois calcular a integral usando a parametrização.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva . Como é a metade superior do círculo de raio 2, podemos usar coordenadas polares. Assim, podemos definir:
Onde varia de a para cobrir a metade de cima do círculo.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar , que é o elemento de comprimento ao longo da curva. Em termos de , temos:
Calculando as derivadas:
Então,
Passo 4
Agora, vamos substituir , e na integral original:
Simplificando dentro da integral:
Passo 5
Vamos agora distribuir o 2 na integral:
Essa integral pode ser dividida em duas partes:
Passo 6
Calculando cada parte:
Primeira integral:
Segunda integral: Vamos usar substituição integral0^pi 16 cos^2 theta sin theta , dtheta = -16 integral1^-1 u^2 , du = 16 integral-1^1 u^2 , du = 16 [ u^33 ]-1^1 = 16 ( 13 - ( -13 ) ) = 16 cdot 23 = 323 , então . Alterando os limites:
Para , ;
Para , .