Se F=nabla f, onde f(x, y)=sen(2 x-y). Encontre curvas C1 e C2 que satisfaçam as equações.
(a) integralC1 F cdot d r=0.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um campo vetorial F que é o gradiente de uma função f(x, y) = sin(2x - y). O exercício pede para a gente encontrar curvas C1 e C2 tal que a integral de F ao longo dessas curvas seja zero, ou seja:
integralC1 F cdot dr = 0
Aqui, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente e como ele se relaciona com integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função escalar f(x, y), denotado por nabla f, é um vetor que aponta na direção de maior aumento de f e tem magnitude igual à taxa de variação nessa direção. No nosso caso, temos:
F = nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y )
Vamos calcular as derivadas parciais de f para encontrar F.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais de f(x, y) = sin(2x - y):
partial fpartial x = 2cos(2x - y)
partial fpartial y = -cos(2x - y)
Então, o campo vetorial fica:
F = nabla f = ( 2cos(2x - y), -cos(2x - y) )

Passo 4

Agora, vamos pensar na integral de linha integralC F cdot dr. Como F é o gradiente de f, pelo Teorema Fundamental do Cálculo para Campos Gradientes, essa integral depende apenas dos valores de f nos pontos inicial e final da curva C:
integralC F cdot dr = f(final) - f(inicial)
Queremos que essa integral seja zero, ou seja:
f(final) - f(inicial) = 0 implies f(final) = f(inicial)

Passo 5

Isso significa que, para que a integral seja zero, o valor da função f no ponto final da curva deve ser igual ao valor no ponto inicial. Portanto, as curvas C1 e C2 devem ligar pontos onde sin(2x - y) é o mesmo.

Passo 6

Vamos encontrar curvas específicas que satisfazem essa condição. Uma forma simples é escolher curvas fechadas, ou seja, curvas que começam e terminam no mesmo ponto. Nessas curvas, obviamente, f(final) = f(inicial), porque os pontos são iguais.
Outra possibilidade é conectar dois pontos diferentes onde f assume o mesmo valor. Por exemplo, escolher dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) tais que:
sin(2x1 - y1) = sin(2x2 - y2)

Resposta

As curvas C1 e C2 podem ser quaisquer curvas fechadas, isto é, que começam e terminam no mesmo ponto. Além disso, podem ser curvas que conectam dois pontos diferentes onde a função f(x, y) = sin(2x - y) assume o mesmo valor. Assim, para essas curvas, a integral integralC F cdot dr será igual a zero.

Exercícios relacionados

Determine uma relação entre a, b e c para que F = (a y^2 + 2 c z x) i + y (b c + c z) j + (a y^2 + c x^2) k seja um campo conservativo.
Calcule integralC(2+x^2 y) d s, onde C é a metade superior do círculo x^2+y^2=4.
Utilizando a definição, calcule a transformada de Laplace da função
f(t) = { sen(t), 0 <= t < 2 pi; cos(t), t >= 2 pi }
Calcule cada limite abaixo, caso exista. Se não existir, justifique.
(b) lim x 1^- |x-1|x-1