Se
, onde
. Encontre curvas
e
que satisfaçam as equações.
(a)
.
(a)
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um campo vetorial
que é o gradiente de uma função
. O exercício pede para a gente encontrar curvas
e
tal que a integral de
ao longo dessas curvas seja zero, ou seja:
Aqui, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente e como ele se relaciona com integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função escalar
, denotado por
, é um vetor que aponta na direção de maior aumento de
e tem magnitude igual à taxa de variação nessa direção. No nosso caso, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais de
para encontrar
.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais de
:
Então, o campo vetorial fica:
Passo 4
Agora, vamos pensar na integral de linha
. Como
é o gradiente de
, pelo Teorema Fundamental do Cálculo para Campos Gradientes, essa integral depende apenas dos valores de
nos pontos inicial e final da curva
:
Queremos que essa integral seja zero, ou seja:
Passo 5
Isso significa que, para que a integral seja zero, o valor da função
no ponto final da curva deve ser igual ao valor no ponto inicial. Portanto, as curvas
e
devem ligar pontos onde
é o mesmo.
Passo 6
Vamos encontrar curvas específicas que satisfazem essa condição. Uma forma simples é escolher curvas fechadas, ou seja, curvas que começam e terminam no mesmo ponto. Nessas curvas, obviamente,
, porque os pontos são iguais.
Outra possibilidade é conectar dois pontos diferentes onde
assume o mesmo valor. Por exemplo, escolher dois pontos
e
tais que:
Resposta
As curvas
e
podem ser quaisquer curvas fechadas, isto é, que começam e terminam no mesmo ponto. Além disso, podem ser curvas que conectam dois pontos diferentes onde a função
assume o mesmo valor. Assim, para essas curvas, a integral
será igual a zero.
Exercícios relacionados
Determine uma relação entre
e
para que
seja um campo conservativo.
Calcule
, onde
é a metade superior do círculo
.
Utilizando a definição, calcule a transformada de Laplace da função
Calcule cada limite abaixo, caso exista. Se não existir, justifique.
(b)
(b)